Nhân liên hợp là gì? Công thức và cách giải phương trình

Nhân liên hợp là một kỹ thuật thường dùng khi giải phương trình chứa căn thức. Mục tiêu là biến hiệu hoặc tổng các căn thành biểu thức đại số để xuất hiện nhân tử chung, từ đó đưa phương trình về dạng dễ xử lý hơn.

Nhân liên hợp là gì?

Hai biểu thức $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ và $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ là hai biểu thức liên hợp. Ta có:

$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$.

Vì vậy:

$\displaystyle \sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$

khi mẫu số khác 0. Đây là công thức cơ bản giúp khử căn và tạo nhân tử chung trong nhiều phương trình vô tỉ.

Ví dụ giải phương trình bằng cách nhân liên hợp

Bài toán: Giải phương trình

$\sqrt{x+1}-4x^2=\sqrt{3x}-1$.

Điều kiện: $x\ge 0$.

Chuyển vế:

$\sqrt{x+1}-\sqrt{3x}=4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$.

Nhân liên hợp ở vế trái:

$\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{3x}=\frac{1-2x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3x}}=-\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3x}}$.

Suy ra:

$\displaystyle (2x-1)\left[-\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3x}}-(2x+1)\right]=0$.

Với $x\ge0$, biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm, nên $2x-1=0$. Do đó:

$x=\dfrac{1}{2}$.

Khi nào nên dùng phương pháp nhân liên hợp?

Khi phương trình có hiệu hai căn và phần còn lại có thể phân tích thành nhân tử.
Khi thay thử một nghiệm dự đoán cho thấy một nhân tử như $(x-a)$ có khả năng xuất hiện.
Khi bình phương trực tiếp làm phương trình dài và dễ phát sinh nghiệm ngoại lai.

Lưu ý: luôn đặt điều kiện xác định trước khi biến đổi và kiểm tra nghiệm ở phương trình ban đầu.