Với hàm phân thức $\displaystyle y=\frac{x+1}{x-2}$, cần chú ý điều kiện $x\ne2$, dấu của đạo hàm và hai giới hạn một phía tại $x=2$. Đây là các dữ kiện quyết định bảng biến thiên và hình dạng đồ thị.
Khảo sát hàm số y = (x + 1)/(x – 2)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
Đạo hàm:
$\displaystyle y’=\frac{-3}{(x-2)^2}<0$ với mọi $x\in D$.
Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$.
Giới hạn và tiệm cận
Ta có:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=1$ và $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}y=1$.
Vì vậy $y=1$ là tiệm cận ngang.
Tại $x=2$:
$\displaystyle \lim_{x\to2^+}y=+\infty$, còn $\displaystyle \lim_{x\to2^-}y=-\infty$.
Do đó $x=2$ là tiệm cận đứng.
Các giao điểm và tâm đối xứng
- Cho $y=0$ ta được $x=-1$, nên đồ thị cắt $Ox$ tại $(-1;0)$.
- Cho $x=0$ ta được $y=-\frac{1}{2}$, nên đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-\frac{1}{2})$.
- Giao điểm hai đường tiệm cận là $I(2;1)$, đây là tâm đối xứng của đồ thị.
Bảng biến thiên
Ghi nhớ khi khảo sát hàm phân thức
Không được gộp hai giới hạn một phía tại tiệm cận đứng nếu chúng khác dấu. Với bài này, phía trái của $x=2$ tiến xuống $-\infty$, còn phía phải tiến lên $+\infty$.
Tham khảo thêm khảo sát hàm số bậc ba, bài toán khảo sát đồ thị hàm số bậc 3 và chuyên mục Toán lớp 12.
