Thay vì cộng từng chữ số, ta chia dãy thành các khối có cấu trúc đều. Khối 000–999 đặc biệt thuận lợi vì mỗi chữ số 0–9 xuất hiện số lần như nhau ở ba vị trí.
Vì sao tổng chữ số từ 000 đến 999 là 13.500?
Có 1000 số viết đủ ba chữ số, tương ứng 3000 vị trí chữ số. Mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 300 lần, nên tổng là $(0+1+\cdots+9)\times300=45\times300=13.500$.
Khối 1000–1999 tăng thêm 1 ở hàng nghìn cho 1000 số nên có tổng 14.500. Phần 2000–2020 có tổng chữ số 144. Cộng lại được $13.500+14.500+144=28.144$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Cho một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2020, được viết theo thứ tự liền nhau như sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 2017 2018 2019 2020.
Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó ?
Giải:
Bước 1: Tính tổng các chữ số từ 0 đến 999
Thêm các chữ số 0 vào để ta có dãy toàn các số có 3 chữ số: 000, 001,…, 999. Tổng các chữ số không thay đổi.
Dãy trên có 1000 số, có tổng số chữ số là: 3 x 1000 = 3000 (chữ số)
Mỗi chữ số 0,1,…,9 xuất hiện số lần là: 3000 : 10 = 300 (lần)
Do vậy tổng tất cả các chữ số từ 000 đến 999 là:
(0 + 1 + 2 +… + 9) x 300 = 45 x 300 = 13500
Bước 2: Tính tổng các chữ số từ 1000 đến 1999:
So với dãy số 000 đến 999 thì mỗi số tăng thêm 1 ở hàng nghìn. Do vậy tổng số chữ số là:
13500 + 1 x 1000 = 14500.
Bước 3: Tổng từ 2000 đến 2020: 2×21+10×1+2+2×45=144
Vậy tổng các chữ số từ 0 đến 2020 là:
13500 + 14500 + 144 = 28144
Lưu ý khi làm bài
Việc viết các số nhỏ thành 000, 001, … không làm thay đổi tổng chữ số vì các chữ số thêm vào đều là 0, nhưng giúp việc đếm theo vị trí trở nên đồng đều.
sai rồi bạn ơi