Cách đếm số lần chữ số 5 xuất hiện khi viết các số tự nhiên từ 1 đến 2017, trình bày theo từng nhóm dễ kiểm tra.
Cách chia dãy để đếm
Chia dãy thành các khối 000-999, 1000-1999 và phần còn lại. Trong một khối đủ 1000 số, ba vị trí cuối có quy luật lặp đều.
Lưu ý về số 0 đứng đầu
Viết 000-999 chỉ là mẹo đếm. Các số 0 đứng đầu không làm phát sinh thêm chữ số 5 nên kết quả cho dãy 1-999 vẫn đúng.
Lời giải
Bài toán: Khi viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2017, chữ số 5 xuất hiện bao nhiêu lần?
Xét từ 000 đến 999. Có 1000 cách viết đủ 3 chữ số. Ở mỗi hàng trăm, chục và đơn vị, mỗi chữ số 0-9 xuất hiện đúng 100 lần. Vì vậy chữ số 5 xuất hiện $100×3=300$ lần.
Từ 1000 đến 1999, ba chữ số cuối lại chạy từ 000 đến 999 nên có thêm 300 chữ số 5.
Từ 2000 đến 2017 chỉ có 2005 và 2015 chứa chữ số 5, thêm 2 lần.
Tổng cộng: $300+300+2=602$ lần.
