Toán tính nhanh ở tiểu học không dựa vào tính nhẩm thật nhanh mà chủ yếu dựa vào việc nhận ra cấu trúc của biểu thức. Khi biết ghép các số tạo tổng tròn chục, tròn trăm hoặc nhận ra các phép nhân có cùng thừa số, học sinh có thể rút ngắn rất nhiều bước tính.
Nguyên tắc chọn cách tính nhanh
Trước khi tính, hãy quan sát xem biểu thức có các cặp số tạo kết quả đẹp, các thừa số có thể đổi chỗ để tạo 10, 100, 1000 hay các hạng tử có cùng thừa số hay không. Với dãy số cách đều, cần xác định số số hạng và tổng của từng cặp trước khi thực hiện phép nhân.
- Phép cộng và phép nhân có thể dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm thuận tiện.
- Ví dụ $24\times5+24\times3+24\times2$ có thể gộp thành $24\times(5+3+2)$ vì cả ba phép nhân đều có thừa số 24.
- Nếu trong một tích có một thừa số bằng 0 thì toàn bộ tích bằng 0.
Nội dung bài toán và lời giải
Dạng 1. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau:
A = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
Giải:
Ta có: A = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= ( 1 + 9) + ( 2 + 8) + (3 + 7) + ( 4 + 6) + 5
= 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45
Dạng 2. Vận dụng tính chất của dãy số cách đều
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
Giải:
Cách 1.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 Cộng vế với vế ta có:
2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1)
2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102)
2 x S = 102 x 101 = 10 302.
S = 10 302 : 2 = 5151.
Cách 2. Viết thêm số 0 vào tổng đã cho.
S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 100 + 101
= (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51)
= 101 + 101 + 101 + … + 101
Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép được là: 102 : 2 = 51 (cặp)
Vậy S = 101 x 51 = 5151.
Cách 3. Viết thêm số 102 vào tổng đã cho.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 + 102
S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + … + (51 + 52)
S + 102 = 103 + 103 + 103 + … + 103
S + 102 = 103 x 51 = 5253
S = 5253 – 102 = 5151.
Cách 4. Tách số hạng đầu tiên đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52)
S = 1 + 103 + 103 + 103 + … + 103
S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151.
Cách 5. Tách số hạng cuối cùng đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101
S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151.
Cách 6. Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51
S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51
= 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151.
Dạng 3. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân
Ví dụ : Tính nhanh:
B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
Giải:
B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25)
= 10 x 1000 x 100
= 1 000 000.
Dạng 4. Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng
Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất:
254 x 99 + 254
Giải:
254 x 99 + 254
= 254 x 99 + 254 x 1
= 254 x (99 + 1) = 254 x 100 = 25 400
Dạng 5. Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu
Ví dụ : Cho A = 93 x 427 và B = 437 x 93
Tính hiệu B – A mà không tính riêng tích A và tích B.
Giải:
B – A = 437 x 93 – 93 x 427
= 93 x (437 – 427)
= 93 x 10 = 930.
Dạng 6. Một vế bằng 0
Ví dụ 1 : A = ( 18 – 9 x 2) x ( 2 + 4 + 6 + 8 + 10 )
Giải: A = ( 18 – 9 x 2) x ( 2 + 4 + 6 + 8 + 10 )
= ( 18 – 18) x ( 2 + 4 + 6 + 8 + 10 ) = 0 x ( 2 + 4 + 6 + 8 + 10 )
Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức:
A = 181 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8 – 9 + 10 + 11 – 12 – 13 + 14 + 15 – 16 – 17 + 18 + 19.
Ta nhóm lại như sau:
A = 181 + (3 – 4 – 5 + 6) + (7 – 8 – 9 + 10) + (11 – 12 – 13 + 14) + (15 – 16 – 17 + 18) + 19
= 181 + ( 3 + 6 – 4 – 5) + ( 7 + 10 – 8 – 9) + ( 11 + 14 – 12 – 13) +( 15 + 18 – 16 – 17) + 19 = 181 + 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200
BÀI TẬP
1. 24 x 5 + 24 x 3 + 24 x 2
2. 24 x 5 + 24 x 4 + 24
3. 217 x 45 + 50 x 217 + 207 x 5
4. 456 x 36 + 456 x 61 + 4 x 456 + 456
5. (16 x 6+ 16 x3 + 16) – (12 x 65 + 12 x 3 + 2 x12)
6. (16 x 6+ 16 x3 + 16) – 12 x 65 – 12 x 3 – 2 x12
7. 213 x 37 + 213 x 39 + 23 x 213 + 213
8. 9 + 9 x 3 + 18 : 2 x 6
9. 2007 x 16 – 2007 x 14 – 2007 x 2 + 2007
10. 3 x 9 + 18 x 2 + 2 x 9 + 9
11. ( 145 x 99 + 145) – ( 143 x 101 – 143 )
12. 2006 x ( 43 x 10 – 2 x 43 x 5) + 100
13. 64 x 4 + 18 x 4 + 9 x 8
14. 44 x 5 + 18 x 10 + 20 x 5
15. 3 x 4 + 4 x 6 + 9 x 2 + 18
16. 2 x 5 + 5 x 7 + 9 x 3
17. 15 : 5 + 27 : 5 + 8 : 5
18. 99 : 5 – 26 : 5 – 14 : 5
19. ( 7 x 8 – 56 ) : ( 2 + 4 + 6 + 8 + 112 )
20. ( 2 + 125 + 6 + 145 + 112) x ( 42 – 6 x 7 )
21. ( 12 x 6 – 12 x 4 – 12 x 2 ) x ( 347 + 125 )
22. (a x 7 + a x 8 – a x 15) : ( 1 + 2 + 3 + …….. + 10)
23. 58 – 58 x( 6 + 54 – 60)
24. 32 + 63 x a x ( a x 1 – a : 1) + 32 x 8 + 32
25. ( 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 9 ) x ( 21 x 5 – 21 – 4 x21)
26. ( 9 x 7 + 8 x 9 – 15 x 9 ) : ( 1 + 3 + 5 + 7 + ……..+ 17 + 19 )
27. ( 2 + 4 + 6 + 8 + … + 20 ) x ( 56 x 3 – 72 : 9 x 21)
28. 5 x 20 x 4 x 2
29. 94 + 87 + 81 – 71 – 77 – 84
30. 1999 – 2000 + 2999 – 3000 + 3999 – 4000 + 4999 – 5000 + 5999 – 1000
31. 7 + 7 + 7 + 7 + ……… + 7 – 777 ( Có 111 số 7 )
32. 2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + 14 – 16 + 18 – 20 + 22
33. 1 0 + 12 + 14 + 16 + ……… + 80
34. 60 – 61 + 50 – 51 + 40 – 41 + 30 – 31 + 20 – 21 + 10 – 11 + 70
Lưu ý khi làm bài
Hai ví dụ cũ ở Dạng 4 và Dạng 5 đã được sửa lại phép biến đổi: $254\times99+254=254\times(99+1)=25\,400$ và $B-A=437\times93-93\times427=930$. Khi luyện tập, nên viết rõ bước dùng tính chất nào thay vì chỉ ghi đáp số.
