Giải phương trình nghiệm nguyên dương b^c + 1 = 2^a bằng tính chẵn lẻ và phân tích b^c+1 khi c lẻ.
Đề bài và lời giải
Bài toán: Tìm các nghiệm nguyên dương \((a,b,c)\) của phương trình
\[
b^c+1=2^a.
\]
Lời giải
Nếu \(b=1\) thì \(2=2^a\), suy ra \(a=1\). Khi đó \(c\) có thể là mọi số nguyên dương.
Xét \(b>1\). Vì \(2^a\) là số chẵn nên \(b^c\) là số lẻ, do đó \(b\) là số lẻ.
Nếu \(c\) chẵn thì \(b^c\equiv 1\pmod 8\), nên \(2^a=b^c+1\equiv 2\pmod 8\). Điều này không thể xảy ra với \(a\ge 3\); còn \(a=1,2\) cũng không cho nghiệm khi \(b>1\). Vậy \(c\) phải lẻ.
Giả sử \(c>1\). Vì \(c\) lẻ, ta có:
\[
b^c+1=(b+1)(b^{c-1}-b^{c-2}+\cdots-b+1).
\]
Nhân tử thứ hai là một số lẻ lớn hơn 1, trong khi vế phải là lũy thừa của 2. Mâu thuẫn. Vì vậy \(c=1\).
Khi \(c=1\), phương trình trở thành:
\[
b+1=2^a,
\]
nên \(b=2^a-1\).
Kết luận:
- \(c=1,\ b=2^a-1\) với mọi \(a\) nguyên dương;
- ngoài ra, \(a=1,\ b=1\) với mọi \(c\) nguyên dương.
