Bất đẳng thức Jensen là công cụ mạnh khi cần đánh giá tổng các giá trị của cùng một hàm số. Trong bài toán lượng giác, Jensen thường phát huy hiệu quả khi các góc có tổng cố định và ta xác định được hàm lượng giác đang xét là lồi hay lõm trên đúng khoảng chứa các góc đó.
Bất đẳng thức Jensen là gì?
Với hàm lồi $f$ trên một khoảng và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ thuộc khoảng đó, dạng Jensen với các trọng số bằng nhau là:
$\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$.
Nếu $f$ là hàm lõm trên khoảng đang xét thì chiều bất đẳng thức đổi lại. Vì vậy, trước khi dùng Jensen cần kiểm tra miền của biến và tính lồi/lõm của hàm, không áp dụng theo mẫu một cách máy móc.
Cách dùng Jensen trong bất đẳng thức lượng giác
- Đưa biểu thức về tổng các giá trị của cùng một hàm $f(x)$.
- Xác định khoảng chứa các góc hoặc biến.
- Kiểm tra dấu của $f”(x)$ trên khoảng đó để kết luận hàm lồi hay lõm.
- Dùng điều kiện tổng các góc để tính giá trị trung bình.
- Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu bằng, thường là khi các biến bằng nhau trong dạng đối xứng.
Ví dụ, hàm $f(x)=\sin x$ là hàm lõm trên $(0;\pi)$ vì $f”(x)=-\sin x<0$. Khi các góc đều nằm trong khoảng này và có tổng cố định, Jensen có thể cho một đánh giá rất gọn.
Ví dụ chứng minh bất đẳng thức lượng giác bằng Jensen
Các hình dưới đây minh họa lời giải của bài. Khi đọc, hãy chú ý bước xác định hàm số, khoảng xét và điều kiện để áp dụng Jensen.
Ghi nhớ khi áp dụng
Điểm dễ sai nhất là dùng Jensen trên một khoảng mà hàm không giữ nguyên tính lồi hoặc lõm. Với các hàm lượng giác, tính chất này phụ thuộc khoảng nên luôn cần kiểm tra trước.
Có thể học thêm BĐT Bunhiacốpxki trong lượng giác, phương pháp hệ số bất định UCT và bất đẳng thức AM-GM. Xem thêm các bài tại Toán Trung học phổ thông.
