Bài toán khai thác một cấu hình quen thuộc của hình học lớp 9: nửa đường tròn có hai tiếp tuyến tại hai đầu đường kính và tiếp tuyến tại một điểm di động. Các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, bán kính vuông góc tiếp tuyến và tam giác vuông là chìa khóa để xử lý từng ý.
Các tính chất nên nhận ra trước khi giải
- Từ một điểm ngoài đường tròn, hai đoạn tiếp tuyến đến đường tròn bằng nhau.
- Bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, nhờ đó xuất hiện các tam giác vuông.
- Với đường kính AB, góc AMB bằng 90°; đây là dữ kiện quan trọng khi nối thêm các điểm phụ.
Ở các ý sau, nên chứng minh từng quan hệ trung gian rồi mới ghép lại. Phần hình và lời giải bên dưới giúp theo dõi rõ các bước dựng hình và suy luận.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Cho nửa đường tròn (O;R) có AB là đường kính. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O;R). Trên nửa đường tròn (O;R) lấy điểm M (MA<MB). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O;R) cắt Ax tại C và By tại D.
a) Chứng minh: CD= AC+BD
b) Chứng minh: góc COD= 90 độ và AC.BD= R^2
c) Đường thẳng BM cắt Ax tại N, AM cắt ON tại E và cắt OC tại H. Đường thẳng NH cắt AB tại F. K là giao điểm của OC và EF. Chứng minh: AN^2= NM. NB và KE= KF
Hướng dẫn giải
Lưu ý khi làm bài
Không nên dùng ngay các định lý quá xa chương trình nếu mục tiêu là ôn thi Toán 9. Hãy ưu tiên tính chất tiếp tuyến, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông và các góc cùng chắn một cung.
