Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y

Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y

Giải:

Cách 1: Cách thông thường, áp dụng cho nhiều bài tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Ta có thể viết lại phương trình theo dạng:

x^2 – x(y+1) + y^2 – y = 0

Đây là một phương trình bậc hai đối với x, với hệ số a = 1, b = – (y + 1) và c = y^2 – y. Áp dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x = [(y+1) ± sqrt((y+1)^2 – 4(y^2 – y))] / 2 x = [(y+1) ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)] / 2

Để x là số nguyên, thì mẫu số phải là một ước của tử số (y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)). Như vậy, ta cần giải các phương trình sau để tìm giá trị nguyên của y:

y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = 0 y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = ± 1

Giải các phương trình này, ta có các giá trị của y là:

y = 0 hoặc y = 2

Khi đó, ta tính được các giá trị của x tương ứng:

• Nếu y = 0, thì x = 0 hoặc x = 2
• Nếu y = 2, thì x = 1 hoặc x = 3

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x,y) = (0,0), (2,0), (1,2) và (3,2).

Cách 2:

Biến đổi PT đã cho thành (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2 bằng cách nhân cả 2 vế của phương trình với 2:

x^2+y^2=xy+x+y

⇔ 2x^2+2y^2=2xy+2x+2y

⇔ (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=2

⇔ (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2

Đến đây các bạn tự giải tiếp được rồi nhé.