Chứng minh cot A + cot B + cot C ≥ √3 trong tam giác nhọn bằng đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức cơ bản.
Đề bài và lời giải
Bài toán
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh:
\(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt{3}\).
Lời giải
Vì A + B + C = 180° nên ta có đẳng thức quen thuộc:
\(\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A = 1\).
Tam giác ABC nhọn nên \(\cot A,\cot B,\cot C\) đều dương. Áp dụng bất đẳng thức:
\((x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)\)
cho \(x=\cot A\), \(y=\cot B\), \(z=\cot C\), ta được:
\((\cot A+\cot B+\cot C)^2 \ge 3\).
Do tổng ở vế trái dương nên:
\(\cot A+\cot B+\cot C \ge \sqrt{3}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\cot A=\cot B=\cot C\), tức A = B = C = 60°.
