Bài toán: Giải phương trình $x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$
Lời giải:
Điều kiện xác định (ĐKXĐ):
$x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$
Giải phương trình:
Phương trình đã cho:
$x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$
$\Leftrightarrow x^2 – 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} = 3$
$\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{x}{x+1}\right)^2 + \dfrac{2x^2}{x+1} = 3$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x(x+1) – x}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0 \quad (*)$
Đặt $t = \dfrac{x^2}{x+1}$. Phương trình $(*)$ trở thành:
$t^2 + 2t – 3 = 0$
Ta thấy $a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0$, do đó phương trình có 2 nghiệm:
$\left[ \begin{array}{l} t = 1 \\ t = -3 \end{array} \right.$
Xét các trường hợp:
- Trường hợp 1: $t = 1$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = 1$
$\Rightarrow x^2 = x + 1$
$\Rightarrow x^2 – x – 1 = 0$
Ta có $\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0$.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$
$x_2 = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$
- Trường hợp 2: $t = -3$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = -3$
$\Rightarrow x^2 = -3(x + 1)$
$\Rightarrow x^2 + 3x + 3 = 0$
Ta có $\Delta = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 – 12 = -3 < 0$.
Phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} ; \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right\}$.
