Bài toán: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x+y)(y+1)(x+1) = 8 \quad (1) \\ x^3 + y^3 = 2 \quad (2) \end{cases}$
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
$\begin{cases} (x+y)(y+1)(x+1) = 8 \quad (1) \\ x^3 + y^3 = 2 \quad (2) \end{cases}$
Biến đổi phương trình (1) và (2), ta có:
$\begin{cases} (x+y)(xy + x + y + 1) = 8 \\ (x+y)[(x+y)^2 – 3xy] = 2 \end{cases}$
Đặt $S = x + y$ và $P = xy$. Điều kiện để tồn tại $x, y$ là $S^2 \ge 4P$.
Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} S(P + S + 1) = 8 \quad (3) \\ S(S^2 – 3P) = 2 \quad (4) \end{cases}$
Từ phương trình (3), ta có:
$SP + S^2 + S = 8 \Leftrightarrow SP = 8 – S^2 – S$
Thế $SP = 8 – S^2 – S$ vào phương trình (4):
$S^3 – 3(8 – S^2 – S) = 2$
$\Leftrightarrow S^3 – 24 + 3S^2 + 3S = 2$
$\Leftrightarrow S^3 + 3S^2 + 3S – 26 = 0$
$\Leftrightarrow (S^3 + 3S^2 + 3S + 1) – 27 = 0$
$\Leftrightarrow (S + 1)^3 = 27$
$\Leftrightarrow S + 1 = 3$
$\Leftrightarrow S = 2$
Thay $S = 2$ vào biểu thức $SP = 8 – S^2 – S$, ta được:
$2 \cdot P = 8 – 2^2 – 2$
$\Leftrightarrow 2P = 2$
$\Leftrightarrow P = 1$
Kiểm tra điều kiện: Ta có $S^2 = 2^2 = 4$ và $4P = 4 \cdot 1 = 4$.
Vì $4 \ge 4$ nên điều kiện $S^2 \ge 4P$ được thỏa mãn.
Do $S = 2$ và $P = 1$, theo định lý Vi-ét đảo, $x$ và $y$ là hai nghiệm của phương trình:
$t^2 – 2t + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (t – 1)^2 = 0$
$\Leftrightarrow t = 1$
Suy ra $x = 1$ và $y = 1$.
Kết luận:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 1)$.
