Khảo sát y=(x+3)/(x+1): đạo hàm, biến thiên, giới hạn một phía và hai tiệm cận x=-1, y=1.
Đạo hàm và tính đơn điệu
$y’=-2/(x+1)^2<0$ với mọi $x≠-1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-∞,-1)$ và $(-1,+∞)$.
Giới hạn một phía tại x=-1
Vì tử $x+3$ tiến tới 2 dương, còn mẫu $x+1$ đổi dấu qua -1, nên $x→-1^+$ cho $+∞$ và $x→-1^-$ cho $-∞$. Do đó $x=-1$ là tiệm cận đứng; $y=1$ là tiệm cận ngang.
Bài toán và lời giải đã sửa
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{x+3}}{{x+1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{-1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-2}{(x+1)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to-1^+} y=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to-1^-} y=-\infty \Rightarrow x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
