Đây là bài toán cực trị hình học: các kích thước của hình hộp phụ thuộc vào một biến và ta cần tối đa hóa tích của ba kích thước. Điều kiện chiều dài, chiều rộng, chiều cao dương phải được giữ trong suốt quá trình biến đổi.
Thiết lập biểu thức thể tích
Gọi chiều rộng là $x$ cm thì chiều dài bằng $12-x$ và chiều cao bằng $24-x$. Do các kích thước dương nên $0<x<12$. Thể tích là $V=x(12-x)(24-x)$.
Lời giải bên dưới dùng cách chọn hệ số phụ và bất đẳng thức để đạt dấu bằng đồng thời. Đây là hướng giải bằng bất đẳng thức phù hợp cho bài nâng cao lớp 9.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Một học sinh được giao thiết kế một cái hộp dạng hình hộp chữ nhật thỏa mãn: Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm, tổng của chiều rộng và chiều cao là 24cm. Giáo viên yêu cầu học sinh ấy thiết kế sao cho thể tích cái hộp lớn nhất, giá trị lớn nhất ấy bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi x là chiều rộng, chiều dài là 12-x, chiều cao là 24-x.
Thể tích cái hộp là V= x.(12-x)(24-x)
Chọn hệ số phụ m, n sao cho mx = n(12-x) = 24-x (Cô si tích ra tổng sao cho khử được x)
mnV=mx.(12n-nx)(24-x)
và mx-nx-x = 0
Từ đó m=n+1 hay (n+1)x = n(12-x) = 24-x từ đây tìm được m,n.
n=1+căn3 và m=2+căn3.
Khi đó: (1+căn3)(2+căn3).V= (mx).(12n-nx)(24-x)
Cô si tích thành tổng là khử được x.
V lớn nhất = 384.căn3
Khi Rộng = 12-4.căn3; Dài = 4.căn3; Cao = 12+4.căn3.
Lưu ý khi làm bài
Tại điểm đạt cực đại: rộng $12-4\sqrt3$ cm, dài $4\sqrt3$ cm, cao $12+4\sqrt3$ cm. Ba kích thước đều dương và thỏa đúng hai điều kiện tổng ban đầu.
