Bài toán 1:
a) Chứng minh $ \displaystyle {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}\vdots 43$; $ \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$
b) Chứng minh $ \displaystyle {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7$; $ \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$
c) Chứng minh $ \overline{{abc}}\vdots 7$. Chứng minh $9a + 3b + c$ chia hết cho 7.
d) Chứng minh rằng: nếu $ \overline{{abc}}\vdots 99$ thì $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 99$.
Giải:
a) $ {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}={{7}^{{12}}}({{7}^{2}}-7+1)={{7}^{{12}}}\cdot \,\,43\,\,\vdots \,\,43$
$ {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$
$ {{3}^{{201}}}=3\cdot {{3}^{{200}}}=3\cdot {{9}^{{100}}}$
Nhận thấy: $ {{9}^{n}}$có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ
$ \Rightarrow {{9}^{{100}}}$ có tận cùng là số 1 $ \Rightarrow 3\cdot {{9}^{{100}}}$ có tận cùng là 3
b)
Nhận thấy: $ {{8}^{5}}$ có tận cùng là 8 $ \Rightarrow {{8}^{6}}$có tận cùng là 4 $ \Rightarrow {{8}^{5}}\cdot {{8}^{6}}={{8}^{{11}}}$ có tận cùng là 2
$ \Rightarrow {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$ có tận cùng là 3 + 2 = 5.
Vậy $ {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$
$ {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7$
$ \displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{({{2}^{2}})}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{2}^{{26}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\\={{2}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}({{2}^{3}}-1)\\={{6}^{{23}}}\cdot \,7\vdots 7\end{array}$
$ {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$
Nhận thấy: $ {{9}^{n}}$ có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ
$ \Rightarrow {{9}^{{201}}}$ có tận cùng là 9
$ {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}={{9}^{{201}}}+1$ có tận cùng là 10 nên chia hết cho 10.
c)
$ \begin{array}{l}\overline{{abc}}=100a+10b+c=9a+91a+3b+7b+c\\=(9a+3b+c)+(91a+7b)\end{array}$
Do $ 91a+7b=7\cdot (13a+b)\vdots 7$
Nên $ (9a+3b+c)\vdots 7$ (đpcm)
d)
$ \displaystyle \overline{{abcd}}=100\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=99\overline{{ab}}+\left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99$
Mà $ \displaystyle 99\overline{{ab}}\vdots 99\Rightarrow \left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99$ (đpcm)
Bài toán 2: Cho $ \displaystyle A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}$
a) Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, cho 6
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
Giải:
a)
$ \displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}} \right)+\left( {{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+…+{{2}^{{98}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot 6+{{2}^{4}}\cdot 6+…+{{2}^{{98}}}\cdot 6\\\,\,\,\,\,=6\cdot (1+{{2}^{2}}+{{2}^{4}}+…+{{2}^{{98}}})\vdots 6\end{array}$
A chia hết cho 6 nên A chia hết cho 3 và 2.
b)
$ \displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\left( {{{2}^{5}}+{{2}^{6}}+{{2}^{7}}+{{2}^{8}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{97}}}+{{2}^{{98}}}+{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +{{2}^{{96}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=30\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\vdots 5\end{array}$
A chia hết cho 2 và 5 nên chia hết cho 10.
Vậy A có tận cùng là 0.
