Các bài chia hết nâng cao thường không chỉ dùng dấu hiệu chia hết quen thuộc mà còn cần nhóm lũy thừa, xét chữ số tận cùng hoặc tách số theo giá trị hàng. Nên xác định mục tiêu chia hết trước rồi chọn cách biến đổi phù hợp.
Ba kỹ thuật thường dùng trong bài chia hết
- Đặt nhân tử chung để xuất hiện trực tiếp thừa số cần chứng minh.
- Xét chu kỳ chữ số tận cùng khi mục tiêu là chia hết cho 5 hoặc 10.
- Viết số dạng $\overline{abc}=100a+10b+c$ để tách thành một phần chia hết cho số đã cho và phần còn lại.
Với tổng lũy thừa, nên nhóm theo chu kỳ ngắn thay vì tính giá trị rất lớn.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán 1:
a) Chứng minh $ \displaystyle {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}\vdots 43$; $ \displaystyle {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$
b) Chứng minh $ \displaystyle {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7$; $ \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$
c) Chứng minh $ \overline{{abc}}\vdots 7$. Chứng minh $9a + 3b + c$ chia hết cho 7.
d) Chứng minh rằng: nếu $ \overline{{abc}}\vdots 99$ thì $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 99$.
Giải:
a) $ {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}={{7}^{{12}}}({{7}^{2}}-7+1)={{7}^{{12}}}\cdot \,\,43\,\,\vdots \,\,43$
$ {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$
$ {{3}^{{201}}}=3\cdot {{3}^{{200}}}=3\cdot {{9}^{{100}}}$
Nhận thấy: $ {{9}^{n}}$có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ
$ \Rightarrow {{9}^{{100}}}$ có tận cùng là số 1 $ \Rightarrow 3\cdot {{9}^{{100}}}$ có tận cùng là 3
b)
Nhận thấy: $ {{8}^{5}}$ có tận cùng là 8 $ \Rightarrow {{8}^{6}}$có tận cùng là 4 $ \Rightarrow {{8}^{5}}\cdot {{8}^{6}}={{8}^{{11}}}$ có tận cùng là 2
$ \Rightarrow {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$ có tận cùng là 3 + 2 = 5.
Vậy $ {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$
$ {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7$
$ \displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{({{2}^{2}})}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{2}^{{26}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\\={{2}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}({{2}^{3}}-1)\\={{6}^{{23}}}\cdot \,7\vdots 7\end{array}$
$ {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$
Nhận thấy: $ {{9}^{n}}$ có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ
$ \Rightarrow {{9}^{{201}}}$ có tận cùng là 9
$ {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}={{9}^{{201}}}+1$ có tận cùng là 10 nên chia hết cho 10.
c)
$ \begin{array}{l}\overline{{abc}}=100a+10b+c=9a+91a+3b+7b+c\\=(9a+3b+c)+(91a+7b)\end{array}$
Do $ 91a+7b=7\cdot (13a+b)\vdots 7$
Nên $ (9a+3b+c)\vdots 7$ (đpcm)
d)
$ \displaystyle \overline{{abcd}}=100\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=99\overline{{ab}}+\left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99$
Mà $ \displaystyle 99\overline{{ab}}\vdots 99\Rightarrow \left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99$ (đpcm)
Bài toán 2: Cho $ \displaystyle A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}$
a) Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, cho 6
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
Giải:
a)
$ \displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}} \right)+\left( {{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+…+{{2}^{{98}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot 6+{{2}^{4}}\cdot 6+…+{{2}^{{98}}}\cdot 6\\\,\,\,\,\,=6\cdot (1+{{2}^{2}}+{{2}^{4}}+…+{{2}^{{98}}})\vdots 6\end{array}$
A chia hết cho 6 nên A chia hết cho 3 và 2.
b)
$ \displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\left( {{{2}^{5}}+{{2}^{6}}+{{2}^{7}}+{{2}^{8}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{97}}}+{{2}^{{98}}}+{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +{{2}^{{96}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=30\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\vdots 5\end{array}$
A chia hết cho 2 và 5 nên chia hết cho 10.
Vậy A có tận cùng là 0.
Lưu ý khi làm bài
Ở câu a, biểu thức cần xét là $3^{201}+2^{33}$. Hãy xét chu kỳ số dư của các lũy thừa theo modulo 5 để chứng minh tính chia hết.
ko có bài tập à ad