Toán lớp 6

Bài toán chia hết nâng cao lớp 6 có lời giải

Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải dạng toán chia hết nâng cao qua bài tập có lời giải chi tiết dễ hiểu.

2100

Bài toán 1:

a) Chứng minh $ \displaystyle {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}\vdots 43$;  $ \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$

b) Chứng minh $ \displaystyle {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7$;  $ \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$

c) Chứng minh $ \overline{{abc}}\vdots 7$. Chứng minh $9a + 3b + c$ chia hết cho 7.

d) Chứng minh rằng: nếu $ \overline{{abc}}\vdots 99$ thì $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 99$.

Giải:

a) $ {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}={{7}^{{12}}}({{7}^{2}}-7+1)={{7}^{{12}}}\cdot \,\,43\,\,\vdots \,\,43$

$ {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$

$ {{3}^{{201}}}=3\cdot {{3}^{{200}}}=3\cdot {{9}^{{100}}}$

Nhận thấy: $ {{9}^{n}}$có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ

$ \Rightarrow {{9}^{{100}}}$ có tận cùng là số 1 $ \Rightarrow 3\cdot {{9}^{{100}}}$ có tận cùng là 3

b)

Nhận thấy: $ {{8}^{5}}$ có tận cùng là 8 $ \Rightarrow {{8}^{6}}$có tận cùng là 4 $ \Rightarrow {{8}^{5}}\cdot {{8}^{6}}={{8}^{{11}}}$ có tận cùng là 2

$ \Rightarrow {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$ có tận cùng là 3 + 2 = 5.

Vậy $ {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5$

$ {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7$

$ \displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{({{2}^{2}})}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{2}^{{26}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\\={{2}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}({{2}^{3}}-1)\\={{6}^{{23}}}\cdot \,7\vdots 7\end{array}$

$ {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10$

Nhận thấy: $ {{9}^{n}}$ có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ

$ \Rightarrow {{9}^{{201}}}$ có tận cùng là 9

$ {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}={{9}^{{201}}}+1$ có tận cùng là 10 nên chia hết cho 10.

c)

$ \begin{array}{l}\overline{{abc}}=100a+10b+c=9a+91a+3b+7b+c\\=(9a+3b+c)+(91a+7b)\end{array}$

Do $ 91a+7b=7\cdot (13a+b)\vdots 7$

Nên $ (9a+3b+c)\vdots 7$ (đpcm)

d)

$ \displaystyle \overline{{abcd}}=100\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=99\overline{{ab}}+\left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99$

Mà $ \displaystyle 99\overline{{ab}}\vdots 99\Rightarrow \left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99$ (đpcm)

Bài toán 2: Cho $ \displaystyle A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}$

a) Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, cho 6

b) Tìm chữ số tận cùng của A.

Giải:

a)

$ \displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}} \right)+\left( {{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+…+{{2}^{{98}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot 6+{{2}^{4}}\cdot 6+…+{{2}^{{98}}}\cdot 6\\\,\,\,\,\,=6\cdot (1+{{2}^{2}}+{{2}^{4}}+…+{{2}^{{98}}})\vdots 6\end{array}$

A chia hết cho 6 nên A chia hết cho 3 và 2.

b)

$ \displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\left( {{{2}^{5}}+{{2}^{6}}+{{2}^{7}}+{{2}^{8}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{97}}}+{{2}^{{98}}}+{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +{{2}^{{96}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=30\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\vdots 5\end{array}$

A chia hết cho 2 và 5 nên chia hết cho 10.

Vậy A có tận cùng là 0.

3.67 ( 3 bình chọn )

Bài Toán
https://baitoan.com
Baitoan.com chia sẻ các bài toán dành cho lứa tuổi mầm non, Tiểu học (cấp 1), Trung học cơ sở (THCS), Trung học phổ thông (THPT) và những bài toán khác.
Ý kiến bạn đọc (1)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài cùng chuyên mục
Bài viết mới
Xem thêm