Bài toán: Cho phương trình bậc hai (ẩn $x$): $x^2+5x-m^2-2=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1|-2\sqrt{x_2}=4$. Tính giá trị của biểu thức $T=\sqrt{m^2-4}$.
Bài làm:
Xét phương trình bậc hai: $x^2 + 5x – m^2 – 2 = 0$ (1)
Ta có các hệ số: $a = 1; \quad b = 5; \quad c = -(m^2 + 2)$
Xét tích: $a \cdot c = 1 \cdot [-(m^2 + 2)] = -(m^2 + 2)$
Vì $m^2 \ge 0, \forall m \Rightarrow m^2 + 2 > 0, \forall m \Rightarrow -(m^2 + 2) < 0, \forall m$.
Do $a \cdot c < 0$ với mọi $m$, nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu $x_1, x_2$ với mọi giá trị của tham số $m$.
Theo giả thiết: $|x_1| – 2\sqrt{x_2} = 4 \quad (*)$
Điều kiện xác định của căn thức: $x_2 \ge 0$.
Vì phương trình có hai nghiệm trái dấu ($x_1 \cdot x_2 < 0$), nên ta suy ra:
$x_2 > 0 \quad \text{và} \quad x_1 < 0$
Do $x_1 < 0$, ta có $|x_1| = -x_1$.
Khi đó, phương trình $(*)$ trở thành:
$-x_1 – 2\sqrt{x_2} = 4 \Leftrightarrow x_1 = -2\sqrt{x_2} – 4 \quad (2)$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -5 \quad (3)\\ x_1 \cdot x_2 = -(m^2 + 2) \quad (4) \end{cases}$
Thay (2) vào (3), ta được:
$(-2\sqrt{x_2} – 4) + x_2 = -5$
$\Leftrightarrow x_2 – 2\sqrt{x_2} + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x_2} – 1)^2 = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_2} = 1$
$\Leftrightarrow x_2 = 1 \quad \text{(thỏa mãn ĐK } x_2 > 0 \text{)}$
Thay $x_2 = 1$ vào (2), ta tìm được:
$x_1 = -2\sqrt{1} – 4 = -6 \quad \text{(thỏa mãn ĐK } x_1 < 0 \text{)}$
Thay $x_1 = -6$ và $x_2 = 1$ vào phương trình (4), ta có:
$(-6) \cdot 1 = -(m^2 + 2)$
$\Leftrightarrow -6 = -m^2 – 2$
$\Leftrightarrow m^2 = 4$
Thay $m^2 = 4$ vào biểu thức $T$ cần tính:
$T = \sqrt{m^2 – 4} = \sqrt{4 – 4} = 0$
Kết luận: Vậy $T = 0$.
