Bài toán 1: La tông là một hợp kim của đồng và kẽm. Một khối la tông có khối lượng 10 kg chứa 80% đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu kẽm nguyên chất để được hợp kim la tông có chứa 70% đồng.
Giải:
Khối lượng đồng có trong 1 khối la tông là:
$10 \times 80\% = 8 \text{ (kg)}$
Gọi khối lượng kẽm nguyên chất cần thêm vào là $x$ (kg) ($x > 0$).
Sau khi thêm $x$ kg kẽm, tổng khối lượng của khối la tông mới là: $10 + x \text{ (kg)}$
Vì khối lượng đồng vẫn giữ nguyên là 8 kg, nhưng lúc này nó chỉ chiếm 70% khối lượng của hợp kim mới nên ta có phương trình:
$\dfrac{8}{10 + x} = \dfrac{70}{100}$
$\dfrac{8}{10 + x} = 0,7$
$8 = 0,7 \times (10 + x)$
$8 = 7 + 0,7x$
$8 – 7 = 0,7x$
$1 = 0,7x$
$x = \dfrac{1}{0,7} = \dfrac{10}{7}$
Vậy phải thêm vào đó $\dfrac{10}{7}$ kg kẽm nguyên chất để được hợp kim la tông chứa 70% đồng.
Bài toán 2: Chuẩn bị cho năm học mới Lan cầm một số tiền đi nhà sách để mua tập. Ban đầu Lan chọn mua toàn bộ tập loại 200 trang có giá niêm yết 13.000 đồng/cuốn, khi ra quầy tính tiền Lan thấy 5 cuốn đầu có giá bán bằng giá niêm yết, các cuốn còn lại nhà sách giảm giá 1.000 đồng/cuốn, nhưng khi tính tiền Lan thấy thiếu 9.000 đồng. Lan trở vào chọn đổi toàn bộ sang mua tập loại 100 trang có giá niêm yết 8.000 đồng/cuốn, khi ra quầy tính tiền Lan thấy 10 cuốn đầu tiên có giá bằng giá niêm yết, các cuốn còn lại giảm 10%, sau khi tính tiền Lan thấy số tiền mang theo vừa đủ và tổng số cuốn tập nhiều hơn số cuốn loại 200 trang mà Lan đã chọn lúc đầu là 7 cuốn. Hỏi Lan đã mang theo bao nhiêu tiền và đã mua bao nhiêu cuốn tập?
Giải:
Gọi $x$ là số cuốn tập loại 200 trang mà Lan dự định mua ban đầu ($x$ nguyên dương, $x > 5$).
Gọi $y$ là số tiền mà Lan cầm đi mua sách ($y > 0$, đơn vị: đồng).
Giá niêm yết là $13.000$ đ.
Ban đầu (Dự định):
Lan mua 5 cuốn đầu mất số tiền là: $5 \times 13.000 = 65.000$ đ.
Các cuốn còn lại ($x – 5$ cuốn) được giảm $1.000$ đ, còn: $13.000 -1.000 =12.000$ đ/cuốn.
Tổng số tiền cần trả là: $65.000 + 12.000(x – 5)$.
Vì Lan thiếu $9.000$ đ so với số tiền $y$ đang có, nên ta có phương trình:
$65.000 + 12.000(x – 5) – y = 9.000$
$\Leftrightarrow 65.000 + 12.000x – 60.000 – y = 9.000$
$\Leftrightarrow 12.000x – y = 4.000$ (1)
Thực tế Lan mua:
Thực tế Lan mua số lượng số lượng cuốn nhiều hơn dự định 7 cuốn, tức là: $x + 7$ (cuốn).
Thực tế Lan mua loại tập có giá niêm yết: $8.000$ đ.
10 cuốn đầu giá: $10 \times 8.000 = 80.000$ đ.
Các cuốn còn lại là $(x + 7) – 10 = x – 3$ (cuốn).
Giá các cuốn còn lại giảm 10% (giảm $800$ đ), còn: $7.200$ đ/cuốn.
Tổng số tiền cần trả là: $80.000 + 7.200(x – 3)$.
Vì Lan trả vừa đủ số tiền $y$, ta có phương trình:
$y = 80.000 + 7.200(x – 3)$
$\Leftrightarrow y = 80.000 + 7.200x – 21.600$
$\Leftrightarrow 7.200x – y = -58.400$ (2)
Bước 3: Giải hệ phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} 12.000x – y = 4.000 \quad (1) \\ 7.200x – y = -58.400 \quad (2) \end{cases}$
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế:
$(12.000x – y) – (7.200x – y) = 4.000 – (-58.400)$
$4.800x = 62.400$
$x = 13$ (thỏa mãn)
Thay $x = 13$ vào phương trình (1) để tìm $y$:
$12.000 \times 13 – y = 4.000$
$156.000 – y = 4.000$
$y = 156.000 – 4.000$
$y = 152.000$
Vậy số tiền Lan mang theo là $y = 152.000$ đồng.
Số cuốn tập Lan đã mua (loại 100 trang) là: $x + 7 = 13 + 7 = 20$ cuốn.
