Bài toán: Với $a, b, c$ là những số thực thỏa mãn
$0 \le a+b, b+c, c+a \le 1.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$M = a^2 + b^2 + c^2.$
Lời giải:
Đặt $x = a+b$, $y = b+c$, $z = c+a$.
Theo giả thiết $0 \le a+b, b+c, c+a \le 1$, ta có $x, y, z \in [0; 1]$.
Mặt khác, $x + y + z = 2(a+b+c) \Rightarrow a+b+c = \dfrac{x+y+z}{2}$.
Ta có hằng đẳng thức:
$(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
Và:
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:
$(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 – (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 = M$
Thay $x, y, z$ vào biểu thức của $M$:
$M = x^2 + y^2 + z^2 – \left(\dfrac{x+y+z}{2}\right)^2$
$\Rightarrow 4M = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 – (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx)$
$\Rightarrow 4M = 3(x^2 + y^2 + z^2) – 2(xy + yz + zx)$
Vì $0 \le x, y, z \le 1$ nên $x^2 \le x$, $y^2 \le y$, $z^2 \le z$. Do đó:
$4M \le 3(x + y + z) – 2(xy + yz + zx) \quad (1)$
Mặt khác, cũng từ $0 \le x, y, z \le 1$, ta có $(1-x)(1-y)(1-z) \ge 0$:
$\Leftrightarrow 1 – x – y – z + xy + yz + zx – xyz \ge 0$
$\Leftrightarrow xy + yz + zx \ge x + y + z + xyz – 1$
Nhân cả hai vế với $-2$, ta được:
$-2(xy + yz + zx) \le -2(x + y + z) – 2xyz + 2$
Thay bất đẳng thức này vào $(1)$:
$4M \le 3(x + y + z) – 2(x + y + z) – 2xyz + 2$
$4M \le x + y + z – 2xyz + 2 \quad (2)$
Ta sẽ chứng minh $x + y + z – 2xyz \le 2$.
Thật vậy, vì $x, y \in [0; 1]$ nên $(1-x)(1-y) \ge 0 \Rightarrow 1 – x – y + xy \ge 0 \Rightarrow x + y \le 1 + xy$.
Từ đó suy ra:
$x + y + z – 2xyz \le 1 + xy + z – 2xyz = 1 + z + xy(1 – 2z)$
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $z \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow 1 – 2z \le 0$.
Vì $x, y \ge 0$ nên $xy \ge 0$, kéo theo $xy(1 – 2z) \le 0$.
Suy ra: $1 + z + xy(1 – 2z) \le 1 + z \le 1 + 1 = 2$ (do $z \le 1$).
- Trường hợp 2: $z < \dfrac{1}{2} \Rightarrow 1 – 2z > 0$.
Vì $x \le 1, y \le 1$ nên $xy \le 1$, kéo theo $xy(1 – 2z) \le 1 \cdot (1 – 2z) = 1 – 2z$.
Suy ra: $1 + z + xy(1 – 2z) \le 1 + z + 1 – 2z = 2 – z \le 2$ (do $z \ge 0$).
Trong mọi trường hợp, ta luôn có $x + y + z – 2xyz \le 2$.
Thay vào $(2)$, ta được:
$4M \le 2 + 2 = 4 \Rightarrow M \le 1$
Dấu “$=$” xảy ra khi các bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức, nghĩa là $x, y, z \in \{0; 1\}$.
Giả sử chọn $(x; y; z) = (1; 1; 0)$, khi đó:
$\begin{cases} a+b = 1 \\ b+c = 1 \\ c+a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 0 \end{cases}$
Thử lại với $(a; b; c) = (0; 1; 0)$, ta thấy thỏa mãn điều kiện đề bài và $M = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1$.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ là $1$.
