Trung học cơ sở

Bài toán: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 . Khi đó ta có: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp […]

Bài toán: Cho $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{5 a+3 b}{5 a-3 b}=\frac{5 c+3 d}{5 c-3 d}$ $ \displaystyle \frac{a \cdot c}{b \cdot d}=\frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}$ Giải: Hướng dẫn: biến đổi tương đương về dãy tỉ số đã cho.

Bài tập: Tìm x thuộc số nguyên sao cho $A$ là số nguyên tố $A=x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-12 x+20$ Giải: $A=x^{4}+2 x^{2}-6 x^{3}=12 x+10 x^{2}+20$ $A=x^{2}\left(x^{2}+2\right)-6 x\left(x^{2}+2\right)+10\left(x^{2}+2\right)$ $A=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-6 x+10\right)$ $A$ là số nguyên tố ⇒ $A = 1.P$ mà $x^{2}+2 \neq 1 \Rightarrow x^{2}-6 x+10=1$ ⇒ $ \displaystyle x=3$ ⇒ $ \displaystyle A={{x}^{2}}+2=11$ ⇒ $ \displaystyle […]

Một số bất đẳng thức thường dùng ở các lớp 6, 7, 8, 9 đã được chứng, áp dụng để để giải các bài tập BĐT trong chương trình Toán THCS. Các bất đẳng thức đó là: 1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means): Với các bộ số $ \displaystyle{{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}$ không âm […]

Những bài toán giải phương trình vô tỉ (vô tỷ) ở lớp 9 thường có nhiều cách giải. Trong bài viết này Baitoan.com chia sẻ 2 cách thường dùng nhất. Các em theo dõi ví dụ dưới đây. Ví dụ: Giải phương trình sau $ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$ TXĐ = {R} Hướng giải: Với phương trình […]

Bài toán: Tìm số vừa là bội của 3 vừa là ước của 54? Đây là dạng toán cơ bản trong chương trình số học 6. Các số chia hết cho số a thì là bội của số a. Số b chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của b. […]

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}-4x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$ Lời giải: $ \displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}-4x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=\frac{{3\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)+2(x-1)-1}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=3+\frac{2}{{x-1}}-\frac{1}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=4-{{\left( {\frac{1}{{x-1}}-1} \right)}^{2}}\le 4$ Dấu “=” xảy ra ⇔ $x – 1 = 1$ ⇔ $x = 2$ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là $4$ khi $x = 2$.

Bài toán: Tìm số tự nhiên a biết a là số nhỏ nhất chia cho 9 dư 3, chia cho 27 dư 12, chia cho 41 dư 27. Giải: Ta có: a : 9 dư 3 => a – 3 chia hết cho 9 => a + 96 chia hết cho 9 a : 27 […]

Bất đẳng thức Chebyshev cũng được sử dụng để chứng minh BĐT lượng giác trong chương trình toán THPT.

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của đa thức sau: $ A=6x-{{x}^{2}}-11$ Giải: Hướng dẫn: Đưa về hằng đẳng thức thứ hai. $ A=6x-{{x}^{2}}-11=-({{x}^{2}}-6x+9)-2$ $ \,A\,\,=-\left[ {{{{(x-3)}}^{2}}+2} \right]\le -2$ với mọi $ x$. Giá trị lớn nhất của A là -2 ⇔ $ x-3=0\Leftrightarrow x=3$