Đề bài và lời giải
Baitoan.com chia sẻ tới các bạn cách áp dụng dấu hiệu chia hết đã học ở lớp 4 để giải một bài toán khó. Trong bài viết này là dấu hiệu chia hết cho 5 và 9.
Bài toán: Tìm số có 5 chữ số $ \displaystyle \overline{{\text{abcde}}}$. Biết $ \displaystyle \overline{{\text{abcde}}}=\text{a }\!\!\times\!\!\text{ b }\!\!\times\!\!\text{ c }\!\!\times\!\!\text{ d }\!\!\times\!\!\text{ e}\times 45$.
Giải:
Vì vế phải có thừa số 45 nên số $\overline{abcde}$ chia hết cho 5. Do đó chữ số tận cùng $e$ bằng 0 hoặc 5. Nếu $e=0$ thì tích $a\times b\times c\times d\times e\times45=0$, trái với việc $\overline{abcde}$ là số có 5 chữ số. Vậy $e=5$.
Số $\overline{abcde}$ tận cùng bằng 5 nên là số lẻ. Vì $45$ và $e=5$ đều lẻ, để tích $a\times b\times c\times d\times e\times45$ là số lẻ thì $a,b,c,d$ đều phải là chữ số lẻ.
Mặt khác, 45 chia hết cho 9 nên $\overline{abcde}$ chia hết cho 9. Vì vậy:
$a+b+c+d+5\vdots 9$.
Tổng $a+b+c+d$ là số chẵn, nhỏ nhất bằng 4 và lớn nhất bằng 36. Do đó $a+b+c+d$ chỉ có thể bằng 4 hoặc 22.
Trường hợp 1: $a+b+c+d=4$. Vì $a,b,c,d$ đều là chữ số lẻ dương nên $a=b=c=d=1$. Khi đó số cần tìm là 11115 nhưng
$1\times1\times1\times1\times5\times45=225\ne11115$,
nên loại.
Trường hợp 2: $a+b+c+d=22$.
Các bộ bốn chữ số lẻ không giảm có tổng 22 là:
$(1,3,9,9)$; $(1,5,7,9)$; $(1,7,7,7)$; $(3,3,7,9)$; $(3,5,5,9)$; $(3,5,7,7)$; $(5,5,5,7)$.
Vì $\overline{abcde}$ là số có 5 chữ số nên
$a\times b\times c\times d\times5\times45<100000$, tức là $a\times b\times c\times d<\dfrac{100000}{225}<445$. Do đó chỉ cần xét ba bộ đầu: - $(1,3,9,9)$ cho tích $a\times b\times c\times d\times5\times45=54675$, các chữ số không khớp. - $(1,5,7,9)$ cho tích bằng 70875, các chữ số không khớp. - $(1,7,7,7)$ cho tích bằng 77175 và đúng là các chữ số của số cần tìm. Vậy số cần tìm là $\boxed{77175}$.
(Theo Trần Trí Tuệ)
