Problem: Natalia, who is always in a hurry, went up the escalator by making one step every second. This way it took her 20 steps to get upstairs. The next day she made 2 steps every second on her way up, and this time it took her 32 steps to get upstairs. How many steps would it take her to go upstairs if the escalator did not work ?

Dịch đề: Natalia, một người luôn luôn vội vã, đi lên thang cuốn bằng cách bước 1 bậc thang mỗi giây. Như vậy để lên đến tầng trên, cô ấy cần bước 20 bậc thang. Ngày hôm sau, cô ấy lại đi thang cuốn nhưng bằng cách bước 2 bậc thang mỗi giây. Lần này Timea phải bước 32 bậc mới lên đến tầng trên. Hỏi nếu thang cuốn không chạy thì cô ấy cần đi bao nhiêu bậc để lên tầng trên ?

Giải:

Ngày hôm trước cô ấy đi lên tầng mất số giây là: 20 : 1 = 20(s)
Ngày hôm sau cô ấy đi lên tầng mất số giây là: 32 : 2 = 16(s)
Tỷ số thời gian là 20:16 = 5/4 nên tỷ số vận tốc là 4/5.
Hiệu 2 vận tốc là 1 bậc.
Do vậy vận tốc hôm trước là 4 bậc/giây hay tổng số bậc cầu thang là:
4 x 20 = 80 (bậc)
Vậy nếu thang không chạy thì cô ấy phải mất 80 bậc mới lên được tầng trên.

Bằng cách áp dụng các bất đẳng thức đã học chúng ta có thể áp dụng vào bài toán chứng minh BĐT lượng giác có lời giải dưới đây.

Bất đẳng thức Chebyshev cũng được sử dụng để chứng minh BĐT lượng giác trong chương trình toán THPT.

Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.

Bất đẳng thức Bunhiacốpxki cùng với BĐT Cauchy (Cô si) được sử dụng nhiều để chứng minh BĐT lượng giác. Mời các bạn xem ví dụ dưới đây.

Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM hay Cô si) được sử dụng rất rộng rãi trong các bài toán chứng minh BĐT lượng giác. Cùng tham khảo các ví dụ dưới đây.

Chú ý là BĐT Cosi chỉ áp dụng với số thực không âm.