Trung học cơ sở

Bài toán: Cho đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a$ là số nguyên dương. Biết $f(5) – f(4) = 2020$. Chứng minh $f(7) – f(2)$ là hợp số. Lời giải: Xét đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Ta có: $f(5) = a \cdot 5^3 […]

Bài toán: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thoả mãn $2020^x + 2022y = 2023$. Bài làm Với $x, y \in \mathbb{Z}$, xét phương trình: $2020^x + 2022y = 2023 \quad (1)$ Trường hợp 1: $x < 0$ Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x < 0$ nên $2020^x$ là một phân số không nguyên. Mặt khác, […]

Bài toán: Hầu hết vi khuẩn sinh sản bằng cách nhân đôi. Cứ sau 1 giây, một con vi khuẩn ban đầu sẽ nhân đôi biến thành 2 con, thì sau 15 giây số lượng vi khuẩn là bao nhiêu con? Hướng dẫn giải: Bài toán này là một ứng dụng rất hay của bài học […]

Bài toán: Với $a, b, c$ là những số thực thỏa mãn $0 \le a+b, b+c, c+a \le 1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = a^2 + b^2 + c^2.$ Lời giải: Đặt $x = a+b$, $y = b+c$, $z = c+a$. Theo giả thiết $0 \le a+b, b+c, c+a \le […]

Bài toán: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: $9^y = 4x^2 + 3x + 2 \quad (1)$ Lời giải: Xét phương trình: $9^y = 4x^2 + 3x + 2 \quad (1)$ Vì $y$ là số nguyên dương nên $9^y = (3^y)^2$ là một số chính phương. Với $x$ là số nguyên dương ($x \ge […]

Bài toán: Giải phương trình $(\sqrt{4x+1} + 2\sqrt{1-x})(5 + 4\sqrt{1+3x-4x^2}) = 27 \quad$ Lời giải: Điều kiện xác định: $\begin{cases} 4x + 1 \ge 0 \\ 1 – x \ge 0 \\ 1 + 3x – 4x^2 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{4} \\ x \le 1 \\ (1-x)(4x+1) \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow […]

Bài toán: Giải hệ phương trình  $\begin{cases} (x+y)(y+1)(x+1) = 8 \quad (1) \\ x^3 + y^3 = 2 \quad (2) \end{cases}$ Lời giải: Xét hệ phương trình: $\begin{cases} (x+y)(y+1)(x+1) = 8 \quad (1) \\ x^3 + y^3 = 2 \quad (2) \end{cases}$ Biến đổi phương trình (1) và (2), ta có: $\begin{cases} (x+y)(xy + x […]

Bài toán 1: Quãng đường đi từ A đến B dài 80 km. Một xe máy đi từ A đến B, khởi hành lúc 7 giờ. Hỏi xe máy phải đi với vận tốc ít nhất bao nhiêu km/h để đến B không quá 9 giờ cùng ngày? Giải: Để đến B không quá 9 […]

Bài toán 1:  La tông là một hợp kim của đồng và kẽm. Một khối la tông có khối lượng 10 kg chứa 80% đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu kẽm nguyên chất để được hợp kim la tông có chứa 70% đồng. Giải: Khối lượng đồng có trong 1 khối la tông […]

Bài toán: Cho 0 =< a; b; c =< 2 và ab + bc + ca = 4. Tìm Max, Min của P = (b+c)/(a+2) + (c+a)/(b+2) + (a+b)/(c+2) Lời giải (Phạm Văn Tuyên):