Trung học cơ sở

Bài toán: Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh, Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần phải dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền […]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là ba số thực khác $0$, thỏa mãn: $\dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b}$ và $a+b+c \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức: $B = \left(1 + \dfrac{b}{a}\right)\left(1 + \dfrac{a}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{b}\right)$ Lời giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (với $a+b+c \neq 0$), ta có: $\dfrac{a+b-c}{c} = […]

Bài toán: Cho $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$. Tính giá trị biểu thức: $C = \dfrac{5x^2 + 3y^2}{10x^2 – 3y^2}$ Lời giải: Đặt $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = k$ $\Rightarrow x = 3k; \quad y = 5k$ Thay $x = 3k$ và $y = 5k$ vào biểu thức $C$, ta được: $C = \dfrac{5(3k)^2 + 3(5k)^2}{10(3k)^2 – 3(5k)^2}$ $C […]

Bài toán: Cho $q(x) = x^8 – 101x^7 + 101x^6 – 101x^5 + \dots + 101x^2 – 101x + 2022$. Tính $q(100)$. Lời giải: Ta cần tính $q(100)$, tức là $x = 100 \Rightarrow 101 = x + 1$. Thay $101 = x + 1$ vào đa thức $q(x)$, ta có: $q(x) = x^8 – (x […]

Bài toán: Chứng tỏ rằng: nếu $a – b + c = 0$ thì $x = -1$ là nghiệm của đa thức $f(x) = ax^2 + bx + c$. Lời giải: Ta có: $f(x) = ax^2 + bx + c$ Thay $x = -1$ vào đa thức $f(x)$, ta được: $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + […]

Bài toán: Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, nếu biết: $\dfrac{7a – 11b}{4a + 5b} = \dfrac{7c – 11d}{4c + 5d}$ Lời giải: Điều kiện: $4a + 5b \neq 0$ và $4c + 5d \neq 0$ (để các phân thức có nghĩa). $\dfrac{7a – 11b}{4a + 5b} = \dfrac{7c – 11d}{4c + 5d}$ $\Rightarrow (7a – […]

Bài toán: Tính giá trị của đa thức $G = x^{2023} + 7x^{2022} + x^{2021} + 7x^{2020} + 2021$ tại $x = -7$. Lời giải: Ta có đa thức: $G = x^{2023} + 7x^{2022} + x^{2021} + 7x^{2020} + 2021$ Tiến hành nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung: $G = (x^{2023} + […]

Bài toán: Cho $g(x)$ là hàm số xác định với mọi số thực $x$. Biết $g(a+b) = g(a.b)$ với mọi số thực $a,b$ và $g(1) = 2022$. Tính $g(2023)$. Lời giải: Theo giả thiết, ta có: $g(a+b) = g(ab) \quad (1)$ (đúng với mọi số thực $a, b$) Thay $b = 0$ vào đẳng thức $(1)$, […]

Bài toán: Cho đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a$ là số nguyên dương. Biết $f(5) – f(4) = 2020$. Chứng minh $f(7) – f(2)$ là hợp số. Lời giải: Xét đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Ta có: $f(5) = a \cdot 5^3 […]

Bài toán: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thoả mãn $2020^x + 2022y = 2023$. Bài làm Với $x, y \in \mathbb{Z}$, xét phương trình: $2020^x + 2022y = 2023 \quad (1)$ Trường hợp 1: $x < 0$ Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x < 0$ nên $2020^x$ là một phân số không nguyên. Mặt khác, […]