Từ khóa: toán nâng cao
Bài toán: Trên bãi cỏ có một số con bò và con trâu. Hai bạn Nam và Bắc ngồi đếm số trâu và bò. Nam nói số bò chiếm 1/3 tổng số trâu và bò. Bắc nói số bò chiếm 1/4 tổng số trâu và bò. Biết rằng hai bạn đang cưỡi trâu hoặc bò mà quên đếm số con mà mình đang cưỡi. Đố bạn Nam và Bắc đang cưỡi con gì và cả đàn có bao nhiêu con trâu, con bò?
Giải:
Mỗi bạn quên đếm con mình đang cưỡi nên khi đếm chỉ thiếu 1 con và trong số đếm có cả con của bạn mình đang cưỡi.
Số lượng trâu bò 2 bạn đếm bằng nhau và chia hết cho 3 và cho 4.
Do mỗi bạn cưỡi có 1 con nên số lượng trâu bò có 12 con không kể con mình đang cưỡi. (Vì nếu là 24 thì 1/3 hơn 1/4 là 2 con).
Nam đếm số bò bằng 1/3 của tổng số trâu bò nhiều hơn lượng bò mà Bắc đếm là 1/4 của tổng số nên “Bắc cưỡi bò” , “Nam cưỡi trâu”.
Nam đếm số bò bằng 1/3 trên tổng số thì được:
12 : 3 = 4 (con bò kể cả con bò Bắc cưỡi)
Số trâu còn lại là:
12 – 4= 8 (con trâu)
Do Nam cưỡi trâu nên tổng số trâu sẽ là:
8 + 1 = 9 (con trâu)
Cả đàn trâu bò có:
4 + 9 = 13 (con)
Bài toán: Một hình chữ nhật có chiều rộng kém chiều dài 3 cm. Nếu giữ nguyên chiều rộng và gấp chiều dài lên 4 lần thì được hình chữ nhật mới có chu vi bằng 64cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
Giải:
Nếu sau khi tăng chiều dài 4 lần mà bớt đi 3 x 4 = 12 (cm) thì chiều dài sẽ gấp 4 lần chiều rộng, chu vi mới sẽ giảm đi:
12 x 2 = 24 (cm)
Chu vi sau khi giảm đi 24 cm là:
64 – 24 = 40 (cm)
Nửa chu vi mới là:
40 : 2 = 20 (cm)
Tổng số phần bằng nhau:
1 + 4 = 5 (phần)
Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là:
20 : 5 x 1 = 4 (cm)
Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là:
4 + 3 = 7 (cm)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:
7 x 4 = 28 (cm2)
Đáp số: 28 cm2.
Bài toán: Có 2 thùng, số gạo thùng A bằng 3/2 thùng B, người ta chuyển 30 kg gạo từ thùng A sang thùng B thì khi đó số gạo thùng B bằng 5/6 số gạo thùng A. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu kg gạo ?
Giải:
Cách 1:
Ta thấy: 3/2 = 33/22. Hay lúc đầu thùng A có 33 phần thì thùng B có 22 phần.
Sau khi chuyển 30kg thì thùng A so với B là 6/5 = 30/25.
(Sau khi chuyển thì tổng số gạo 2 thùng vẫn không đổi có 33+22=30+25=55 phần)
Số phần ứng với 30kg gạo là:
33 – 30 = 3 (phần)
Giá trị mỗi phần là:
30 : 3 = 10 (kg)
Số gạo lúc đầu của thùng A là:
10 x 33 = 330 (kg)
Số gạo lúc đầu của thùng B là:
10 x 22 = 220 (kg)
Đáp số: Thùng A: 330 kg
Thùng B: 220 kg
Cách 2:
Khi đó số gạo thùng B bằng 5/6 số gạo thùng A hay thùng A bằng 6/5 thùng B.
Gọi số gạo ban đầu của thùng A là N ta được:
(N-30) / (2/3N + 30) = 6/5
N – 30 = (2/3N + 30) * 6/5 = 12/15N + 36
N = 12/15N + 66
3/15N = 66
N = 66 : 3/15
N = 330 (kg)
Số gạo thùng B là:
330 : 3 x 2 = 220 (kg)
Bài toán: Hai bạn An và Bình cùng bắt đầu một công việc như nhau vào cùng một ngày. An cứ làm 3 ngày liên tục thì nghỉ 1 ngày. Bình cứ làm 7 ngày liên tục thì nghỉ 3 ngày. Hỏi trong số 350 ngày kể từ ngày đầu tiên hai người đó có bao nhiêu ngày nghỉ chung ?
Giải:
Tính theo thứ tự ngày nghỉ thì :An nghỉ vào những ngày chia hết cho 4, gồm: 4;8;12; 16; 20; ….;348
Bình nghỉ vào các ngày có chữ số ở hàng đơn vị là 8; 9; 0 (10; ….).
Như vậy các ngày nghỉ chung có chữ số ở hàng đơn vị là 8 hoặc 0 mà chia hết cho 4 gồm:
8 ; 28 ; 48 ; 68 ; 88 ; …………… ; 328 ; 348
Có: (348 – 8 ) : 20 + 1 = 18 (ngày)
20 ; 40 ; 60 ; ……………….…… ; 320 ; 340
Có: (340 – 20) : 20 + 1 = 17 (ngày)
Tất cả: 18 + 17 = 35 (ngày)
Bài toán: Một hình thang có diện tích 36cm2. Đáy lớn gấp đôi đáy bé và gấp ba chiều cao. Tính chiều cao, đáy lớn, đáy bé.
Giải:
Xem chiều cao có 1 phần thì đáy lớn có 3 phần và đáy bé có 3 : 2 = 1,5 (phần).
Diện tích hình thang = (trung bình 2 đáy) x cao
Số phần của trung bình 2 đáy là:
(3 + 1,5) : 2 = 2,25 (phần)
Ta có bài toán Tích và Tỉ. Trung bình 2 đáy có 2,25 phần, chiều cao 1 phần.
Vẽ hình chữ nhật có chiều rộng ứng với số phần chiều cao, chiều dài ứng với số phần trung bình 2 đáy.
Diện tích 1 hình vuông là:
36 : 2,25 = 16 (cm2)
Cạnh hình vuông bằng với chiều cao hình thang là 4cm (vì 4×4=16).
Đáy lớn hình thang là:
4 x 3 = 12 (cm)
Đáy bé hình thang là:
12 : 2 = 6 (cm)
Bài toán: Bác Tiến mua ba loại trái cây gồm: cam, táo và xoài hết tất cả 84600 đồng. Biết rằng, 1 quả táo giá 2100 đồng, 1 quả cam giá 1600 đồng và 1 quả xoài giá 3500 đồng. Số cam bác Tiến mua bằng hai lần số táo và số táo bằng hai lần số xoài. Hỏi bác Tiến đã mua mỗi loại mấy quả ?
Giải:
Tỉ số giá tiền mua cam và giá tiền mua táo là: : 16000/2100 = 16/21
Tỉ số giá tiền mua táo và giá tiền mua xoài là: 2100/3500 = 21/35
Tỉ số tiền mua cam và tiền mua táo là: (16 x 2)/21 = 32/21 = 64/42
Tỉ số tiền mua táo và tiền mua xoài là: (21 x 2)/35 = 42/35
Nếu xem tiền mua cam có 64 phần thì táo có 42 phần và xoài có 35 phần.
Tổng số phần bằng nhau: 64 + 42 + 35 = 141 (phần)
Giá trị 1 phần là: 84 600 : 141 = 600 (đồng)
Tiền mua cam là: 600 x 64 = 38 400 (đồng)
Số quả cam là: 38400 : 1600 = 24 (quả cam)
Số quả táo là: 24 : 2 = 12 (quả táo)
Số quả xoài là: 12 : 2 = 6 (quả xoài)
Bài toán: Tìm số tự nhiên a biết a là số nhỏ nhất chia cho 9 dư 3, chia cho 27 dư 12, chia cho 41 dư 27.
Giải:
Ta có:
a : 9 dư 3 => a – 3 chia hết cho 9 => a + 96 chia hết cho 9
a : 27 dư 12 => a – 12 chia hết cho 27 => a + 96 chia hết cho 27
a : 41 dư 27 => a – 27 chia hết cho 41 => a + 96 chia hết cho 41
=> a + 96 ∈ BC (9, 27, 41)
mà BC (9, 27, 41) = 27.41 = 1107
=> a + 96 ∈ BC (1107) => a ∈ BC (1011) = {1011, 2022, 3033….}
Vậy a = 1011.
Bài toán: Cho dãy số 1,1; 1,4; 1,6; 1,9; 2,1; 2,4; 2,6; … tìm số hạng thứ 30 của dãy số.
Giải:
Cách 1: Số hạng số 30 sẽ thuộc dãy 1,4; 1,9; 2,4,,,( có khoảng cách giữa các số hạng là 0,5) và nó là số hạng 15 trong dãy nhỏ này vậy số hạng đó là 1,4 + 14 x0,5= 8,4.
Cách 2: Nhận thấy:
Mỗi 1 nhóm tương ứng với phần nguyên là các số tự nhiên lần lượt là 1;2;3;4…Có 4 số hạng.
Gồm có: (1,1; 1,4, 1,6; 1,9)
(2,1; 2,4; 2,6; 2,9)
…..
Ta có:
30:4= 7 ( dư 2)
Vậy số hạng thứ 30 là số thứ 2 của nhóm 8.
=> là số 8,4.
Bài toán: Ba người thợ cùng làm chung một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì mất 3 giờ mới xong. Nếu người thứ 2 làm một mình thì mất 4 giờ mới xong. Nếu người thứ ba làm một mình thì mất 6 giờ mới xong. Hỏi cả ba người cùng làm thì mấy giờ sẽ hoàn thành công việc?
Giải:
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được
1:3= 1/3 (công việc)
Trong 1 giờ người thứ 2 làm được
1:4= 1/4 (công việc)
Trong 1 giờ người thứ 3 làm được
1:6= 1/6 (công việc)
Trong 1 giờ cả 3 người làm được
1/3+1/4+1/6= 3/4 (công việc)
Thời gian để cả 3 người hoàn thành công việc là
1:3/4= 4/3 (giờ)
Dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tích của 2 số là dạng toán khó trong chương trình nâng cao bồi dưỡng Toán tiểu học.
Chúng ta đi xét bài toán cụ thể dưới đây:
Bài toán: Tìm hai số có tổng là 356, tích là 31675
Giải:
Tích của hai số có tận cùng là 5 nên 1 trong 2 số phải có tận cùng là 5
Mà tổng của 2 số có tận cùng là 6. Nên số còn lại có tận cùng là 1
Mà 25*7*181=175*181=31675
Và 175+181=356
Số thứ nhất là 175
Số thứ hai là 181
Bài toán: Một cửa hàng bán 1/4 cuộn vải với giá 80 nghìn một mét thì lãi 900 nghìn đồng. Ngày hôm sau cửa hàng bán 5/9 cuộn vải còn lại với giá 90 nghìn một mét thì lãi 2 triệu đồng. Hỏi cuộn vải dài bao nhiêu mét?
Lời giải:
Sau ngày đầu thì còn lại
1 – 1/4 = 3/4 cuộn vải
Ngày hôm sau bán được
5/9 x 3/4 = 5/12 cuộn vải
Nếu bán tất với giá 80 000/mét thì lãi
900 000 : 1/4 = 3 600 000đ
Nếu bán tất với giá 90 000/mét thì lãi
2 000 000 : 5/12 = 4 800 000đ
Cửa hàng có số mét vải là
( 4 800 000 – 3 600 000 ) : ( 90 000 – 80 000 ) = 120 mét
Bài toán: Nhà An có số gà mái nhiều gấp 6 lần số gà trống. An nhẩm tính rằng nếu có thêm 5 con gà trống nữa thì số gà trống sẽ bằng 1/4 số gà mái. Tính gà mái và gà trống của nhà An.
Lời giải:
Ban đầu số gà trống bằng 1/6 số gà mái
Lúc sau số gà trống bằng 1/4 số gà mái
Vậy phân số chỉ 5 con gà mái là: 1/4 – 1/6 = 1/12 con
Số con gà mái là: 5 : 1/12 = 60con
Số gà trống là: 60 : 6 = 10 con
Bài toán: Tuổi và thơ góp bánh ăn chung, Tuổi góp 3 chiếc, Thơ góp 5 chiếc. Vừa lúc đó, Toán đi tới. Tuổi và Thơ mời Toán ăn cùng. Ăn xong Toán trả lại cho 2 bạn 8000 đồng.
Hỏi Tuổi và Thơ mỗi người nhận được bao nhiêu tiền?
Lời giải:
Lời giải cho các bạn lớp 3 chưa học phân số:
Theo đề bài mỗi bạn phải góp 8000 đồng nên 3 bạn góp số tiền là:
8000 x 3 = 24000 (đồng)
Giá tiền 1 chiếc bánh là:
24000 : 8 = 3000 (đồng)
Tuổi góp 3 chiếc bánh nên được nhận lại số tiền là:
3000 x 3 – 8000 = 1000 (đồng)
Thơ được nhận lại số tiền là:
8000 – 1000 = 7000 (đồng)
Cách 2 cho hs lớp 4:
Mỗi bạn ăn số cái bánh là:
8 : 3 = 8/3 (cái)
Tuổi đưa cho Toán số cái bánh là:
3 – 8/3 = 1/3 (cái)
Thơ đưa cho Toán số cái bánh là:
5 – 8/3 = 7/3 (cái)
Tỷ số phần bánh 2 bạn đưa cho Toán là:
1/3 : 7/3 = 1/7
Nên số tiền Tuổi nhận lại bằng 1/7 của Thơ.
Số tiền Tuổi nhận lại là:
8000 : (1+7) = 1000 (đồng)
Số tiền Thơ nhận lại là:
8000 – 1000 = 7000 (đồng)
(theo thầy Cao Hữu Hiền)
Bài toán: Đầu năm học, thư viện trường Tiểu học Ngọc Vân đã được cấp một số quyển truyện và đã phát cho các khối lớp mượn. Khối Năm mượn 1/3 số quyển truyện và thêm 24 quyển. Khối bốn mượn 1/3 số quyển truyện và thêm 8 quyển. Khối Ba mượn số quyển truyện bằng 2/3 số quyển truyện mà khối Nam mượn. Hỏi thư viện trường đó được cấp bao nhiêu quyển truyện?
(Thân Luyến – Trường TH Ngọc Vân, Tân Yến, Bắc Giang)
Lời giải:
Số truyện khối 3 mượn là: 2/3 x 1/3 = 2/9 (số truyện)
Thêm 24 x 2/3 = 16 (quyển)
Số quyển truyện mà các khối mượn thêm là:
24+8+16=48 (quyển)
Phân số chỉ 48 quyển truyện là:
1 – (1/3 + 1/3 + 2/9) = 1/9 (số truyện)
Thư viện nhà trường được cấp là:
48 : 1/9 = 432 (quyển)
Bài toán: Trung bình cộng của chín số là 18. Do bớt đi số thứ chín nên trung bình cộng của tám số là 16. Tìm số thứ chín.
Lời giải:
Tổng 9 số ban đầu là: 18 x 9 = 162
Tổng 8 số sau là: 16 x 8 = 128
Số thứ 9 là: 162 – 128 = 34
Bài toán: Trường mở câu lạc bộ toán. Lúc đầu số bạn nam tham gia bằng 4/5 số bạn nữ. Sau đó số bạn nam thêm 10 bạn , số bạn nữ thêm 15 bạn nữ thì số bạn nữ bằng 14/11 so bạn nam. Hỏi câu lạc bộ toán bây giờ có bao nhiêu bạn nam bao nhiêu bạn nữ.
Lời giải:
Lúc đầu số nam = 4/5 số nữ.
Vì 15 x 4/5= 12 nên giả sử lúc sau thêm 12 bạn nam và thêm 15 bạn nữ thì số nam vẫn bằng 4/5 số nữ.
Thực tế, thêm 10 nam và 15 nữ nên số nữ = 14/11 số nam hay số nam = 11/14 số nữ.
12 – 10= 2 bạn ứng với:
4/5 – 11/14= 1/70 số bạn nữ bây giờ.
Vậy số bạn nữ bây giờ là:
2 : 1/70 = 140 bạn
Số bạn nam bây giờ là:
140 x 11/14 = 110 bạn
Bài toán: Hai tủ sách có tất cả 664 quyển sách. Biết rằng khi chuyển 3/4 số sách ở mỗi tủ thì số sách chuyển đi ở tủ một hơn số sách chuyển đi của tủ hai là 48 quyển sách. Hỏi lúc đầu mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách?
Bài toán: Sân trường của hợp tác xã hình chữ nhật có chiều rộng bằng 1/3 chiều dài. Chuẩn bị cho vụ chiêm người ta mở rộng thêm sân về 3 phía trước mặt (chiều dài sân), bên phải, bên trái, mỗi phía thêm 3m. Như vậy sân sẽ rộng thêm 120 m2. Hỏi diện tích sân mới là bao nhiêu?.
Bài toán: Điền tiếp vào chỗ trống trong dãy số dưới đây:
a) 13, 31, 24, 42, 35, 53, …., …., 57, 75
b) 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, …., 68
Lời giải:
a) Đáp án: 13, 31, 24, 42, 35, 53, 46, 64, 57, 75
Giải thích:
– 2 số liền nhau đổi các chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho nhau.
– 2 số liền nhau chữ số hàng chục tuân theo quy luật: 1 – 3, 2 – 4, 3 – 5, 4 – 6. Suy ra số cần điền vào chỗ trống là 46, 64.
b) Đáp án: 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68
Giải thích: Tổng 3 số liền nhau cộng lại thì bằng số tiếp theo
0 + 1 + 2 = 6
2 + 3 + 6 = 11
3 + 6 + 11 = 20
6 + 11 + 20 = 37.
Bài toán: Một người gửi tiết kiệm một số tiền ở ngân hàng. Biết rằng sau 1 tháng người đó rút thì được số tiền lãi là 250 000 đồng, nếu sau 2 tháng người đó mới rút thì được số tiền lãi là 502 000 đồng. Hỏi nếu sau 3 tháng người đó mới rút thì sẽ được bao nhiêu tiền lãi?
Giải:
Nếu lãi không nhập gốc thì mỗi tháng lãi số tiền là: 250 000 đồng.
Như vậy sau tháng thứ hai, số tiền lãi của tháng 1 là 250 000 tạo ra lãi ở tháng thứ 2 là:
502 000 – 250 000 x 2 = 2000 (đồng)
Tỷ số lãi suất ngân hàng là:
2000 : 250 000 = 0,008 = 0,8%
Lãi nhận được sau 3 tháng sẽ là:
502 000 + 250 000 + 502 000 x 0,8% = 756 016 (đồng)
Bài toán: Cho tam giác ABC như hình vẽ. M là trung điểm của BC và CN = 3AN, BA và MN kéo dài cắt nhau tại E. Chứng minh NE = NM.
Hướng dẫn giải:
Bài toán: Cho hình thang ABCD có đáy AB = 1/3CD. Biết diện tích tam giác ABC là 12cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.
Hướng dẫn giải:
S.ABC = 1/3S.ACD (Đáy AB = 1/3 đáy CD, chung đường cao hình thang)
=> S.ACD = 12 : 1/3 = 36 cm2
=> S.ABCD = 36 + 12 = 48 cm2
Viết được bao nhiêu số có 3 chữ số mà mỗi số duy nhất một chữ số 4. Viết được bao nhiêu số có 3 chữ số mà mỗi số duy nhất một chữ số 4.
Hướng dẫn giải:
Bài toán: Viết được bao nhiêu số có 3 chữ số mà mỗi số duy nhất một chữ số 4
Nếu chữ số hàng trăm là 4 thì có : 1 x 9 x 9=81 số
Nếu chữ số hàng chục là 4 thì có 1 x 8 x 9=72 số
Nếu chữ số hàng đơn vị là 4 thì có 1 x 8 x 9=72 số.
Vậy có 81 + 72 + 72 = 225 số.
Bài toán: Viết được bao nhiêu số có 4 chữ số mà mỗi số duy nhất một chữ số 4
TH 1 : Nếu chữ số 4 ở hàng nghìn thì :
– Hàng trăm có 9 cách chọn
– Hàng chục có 9 cách chọn
– Hàng đơn vị có 9 cách chọn
=> có tất cả : 1 x 9 x 9 x 9 = 729 (cách chọn)
TH 2 : Nếu chữ số 4 ở hàng trăm thì :
– Hàng nghìn có 8 cách chọn
– Hàng chục có 9 cách chọn
– Hàng đơn vị có 9 cách chọn
=> có tất cả : 8 x 1 x 9 x 9 = 649 (số)
TH 3 : Nếu chữ số 4 ở hàng chục thì :
– Hàng nghìn có 8 cách chọn
– Hàng trăm có 9 cách chọn
– Hàng đơn vị có 9 cách chọn
=> có tất cả : 8 x 1 x 9 x 9 = 649 (số)
TH 1 : Nếu chữ số 4 ở hàng đơn vì thì :
– Hàng nghìn có 8 cách chọn
– Hàng trăm có 9 cách chọn
– Hàng chục có 9 cách chọn
– Hàng đơn vị có 1 cách chọn
=> có tất cả : 8 x 9 x 9 x 1 = 649 (số)
Vậy có tất cả 729 + 649 x 3 = … ( số)
Baitoan.com chia sẻ tới các bạn cách áp dụng dấu hiệu chia hết đã học ở lớp 4 để giải một bài toán khó. Trong bài viết này là dấu hiệu chia hết cho 5 và 9.
Bài toán: Tìm số có 5 chữ số $ \displaystyle \overline{{\text{abcde}}}$. Biết $ \displaystyle \overline{{\text{abcde}}}=\text{a }\!\!\times\!\!\text{ b }\!\!\times\!\!\text{ c }\!\!\times\!\!\text{ d }\!\!\times\!\!\text{ e}\times 45$.
Giải:
Lưu ý rằng 45 chia hết cho 9. Nên $ \displaystyle \overline{{\text{abcde}}}$ chia hết cho 9
Vậy (a + b + c + d + 5) phải chia hết cho 9
Mà a; b; c; d đều lẻ nên tổng a + b + c + d là số chẵn. Từ đó suy ra: a + b + c + d chỉ có thể nhận hai giá trị 4 hoặc 22
Xét lần lượt từng trường hợp
+ Nếu a + b + c + d = 4 thì chỉ có duy nhất 1 khả năng xảy ra: a = b = c = d = 1. Thử vào ta thấy không thỏa mãn nên loại
+ Trường hợp 2: nếu a + b + c + d = 22 thì chỉ có 2 khả năng đó là các chữ số (1; 5; 7; 9) hoặc (1; 7; 7; 7)
Thay vào thấy chỉ có 1 trường hợp thỏa mãn
Tìm đc số là 77175
(Theo Trần Trí Tuệ)
Bài toán: Một người khởi hành từ A bằng tàu thủy trong 3 giờ rồi đi tiếp tàu hoả trong 4 giờ. Sau cùng người đó đi xe máy trong 2 giờ thì đến B. Tính vận tốc của tàu thuỷ, tàu hoả và xe máy ? Biết rằng xe máy đi chậm hơn tàu hỏa 10km nhưng nhanh hơn tàu thuỷ 17 km và quãng đường AB dài 304km.
Giải:
1 giờ tàu hỏa đi nhanh hơn tàu thủy là:
10 +17=27 (km)
Giả sử cả 3 phương tiện trong 1 giờ cùng đi được quãng đường như tàu thủy
Khi ấy quãng đường đi được là:
27 x 4 + 17×2 = 142 (km)
Vận tốc tàu thủy là:
(304 – 142) : (4+3+2)= 18 (km/h)
Vận tốc xe máy:
18+17=35 (km/h)
Vận tốc xe lửa:
35 +10=45 (km/h)
Bài toán: Trong hình vẽ dưới đây, diện tích của tam giác ABC bằng 5cm² , AE = ED và BD = 2DC. Hãy tính diện tích phần tô đen.
Giải:
s.ABF=s.DBF (Chung đáy BF, chiều cao tương ứng bằng nhau)
s.AEF=s.DEF
=> s.đen = s.ABF
s.FDC=1/2s.DBF = 1/2s.ABF = 1/2s.đen
s.ABC = s.ABF+s.DBF+s.FDC = s.đen + s.đen + 1/2s.đen = 5/2s.đen
Vậy s.đen=2/5s.ABC = 2/5×5=2cm²
Bài toán: Cho $ \displaystyle \frac{3}{a}-\frac{5}{b}=\frac{7}{{36}}$ với a < b < 10.
Lời giải:
Ta có: a<b<10 nên a x b <100.
a x b là mẫu số chung, sau khi rút gọn thành 36 nên a x b = 36 hoặc 72.
Có các cặp a,b là: 4-9; 8-9. Thử sẽ chọn được cặp 4-9.
(theo thầy Cao Hữu Hiền)
Bài toán: Một phép nhân có tích bằng 4228 nếu thêm vào thừa số thứ hai 3 đơn vị thì tích mới bằng 6040 tìm thừa số thứ nhất của phép nhân.
Giải:
Tích mới hơn tích cũ là: 6040 – 4228 = 1812
Thừa số thứ nhất là: 1812 : 3 = 604
Thừa số thứ hai là: 4228 : 604 = 7
Bài toán: Có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho cả 5 và 9?
Giải:
Các số chia hết cho 5 và 9 thì chia hết cho 45 nên các số đó có khoảng cách là 45.
Số lớn nhất chia hết cho cả 5 và 9 là 9990
Số nhỏ nhất chia hết cho cả 5 và 9 là 1035
Vậy có tất cả là:
(9990-1035): 45 +1 = 200 số chia hết cho cả 5 và 9.
Bài toán: Một hình chữ nhật có diện tích 630m2 được chia thành 7 hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng nhau (Hình vẽ). Tính chu vi hình chữ nhật lớn.
Giải:
Diện tích hình chữ nhật nhỏ là: 630 : 7=90 (m2)
Quan sát: 2 lần chiều dài hình chữ nhật nhỏ = 5 lần chiều rộng của hình chữ nhật nhỏ
Ta thêm 3 hình và xếp lại thành hình vuông .
Diện tích hình vuông là: 630+90 x 3=900 (m2)
=> 1 cạnh hình vuông gấp 5 lần chiều rộng của hình chữ nhật nhỏ là 30 vì 30 x 30 = 900 (m2)
=> chiều rộng của hình chữ nhật nhỏ là: 30 : 5=6 (m)
=> chiều dài của hình chữ nhật nhỏ là: 90 : 6=15 (m)
=> chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: 15 + 6=21(m)
Chu vi hình chữ nhật lớn là : (21+30) x 2=102(m)
Bài toán: Cửa hàng có một số gạo. Buổi sáng bán được $ \displaystyle \frac{1}{3}$ số gạo và 150kg. Buổi chiều bán được $ \displaystyle \frac{1}{5}$ số gạo còn lại và 200kg thì vừa hết. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu tạ?
Giải:
200kg gạo ứng với: $ \displaystyle 1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ (số gạo còn lại)
⇒ Sau buổi sáng còn lại số kg gạo là:
$ \displaystyle 200:\frac{4}{5}=250$ (kg)
200 + 150 = 400 kg gạo ứng với: $ \displaystyle 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ (số gạo của cửa hàng)
⇒ Số gạo cửa hàng bán được là:
$ \displaystyle 400:\frac{2}{3}=600$ (kg) = 6 tạ
Đáp số: 6 tạ.
Bài toán: Để xây một cái ao thì 50 người làm trong 42 ngày, 15 ngày sau có thợ đến làm giúp thì xong trước 12 ngày. Hỏi có bao nhiêu thợ đến giúp?
Giải:
Sau khi làm 15 ngày thì khối lượng công việc 50 người làm trong số ngày là:
42 – 15= 27 (ngày)
Số ngày còn phải làm nếu có người đến thêm là:
27 – 12= 15( ngày)
Số thợ cần làm hết công việc trong 15 ngày là:
50 x 27 : 15= 90 (người)
Số người đến thêm là:
90 – 50= 40 (người)
Bài toán: Một đoàn khách du lịch muốn qua sông bằng những thuyền thúng nhỏ. Nếu mỗi thuyền chở 4 người khách thì thiếu một thuyền. Nếu mỗi thuyền chỏ 5 người khách thì thừa 1 thuyền. Hỏi đoàn khách đó có bao nhiêu người?
Giải:
Nếu mỗi thuyền chở 4 người khách thì thiếu 1 thuyền, có nghĩa là thừa 4 người
Nếu mỗi thuyền chở 5 người khách thì thừa 1 thuyền. Có nghĩa là nếu thêm 5 người khách nữa thì đủ 1 thuyền
Để dùng hết số thuyền thì cần thêm số người là:
5 + 4 = 9 người
Mỗi thuyền chở 5 người nhiều hơn mỗi thuyền chở 4 người là:
5 – 4 = 1 người
Số thuyền là
9 : 1 = 9 thuyền
Số du khách là
9 x 4 + 4 = 40 người
Dưới đây là 2 bài tập trong dạng toán nâng cao lớp 4 về số trung bình cộng.
Bài 1: Số trung bình cộng của 11 số chẵn liên tiếp bằng 20. Tìm số bé nhất trong 11 số đó.
Giải:
Tổng số bé nhất và số lớn nhất là:
20 x 2= 40
Hiệu giữa số lớn nhất và số bé nhất là:
2 x (11-1)= 20
Số bé nhất là:
(40 – 20) : 2= 10
Bài 2: Số trung bình cộng của 7 số lẻ liên tiếp bằng 101. Tìm số lớn nhất trong 7 số đó.
Giải:
Tổng của số bé nhất và số lớn nhất là:
101 x 2= 202
Hiệu giữa số lớn nhất và số bé nhất là:
2 x ( 7-1) = 12
Số lớn nhất là:
(202+12) : 2= 107
Bài 3: Trung bình cộng của 6 số chẵn liên tiếp là 241. Hãy tìm 6 số đó.
Giải:
Sáu số tự nhiên chẵn liên tiếp là dãy số cách đều nên TBC của nó bằng TBC của số lớn nhất và số bé nhất.
Tổng của số lớn nhất và bé nhất là: 241×2=482
Hiệu số lớn nhất và bé nhất là (6-1)x2=10
Số bé là (482-10):2=236
Các số còn lại là 238; 240; 242; 244; 246
Xóa bỏ chữ số là một dạng toán nâng cao trong chương trình Toán lớp 2 giúp học sinh nắm được ý nghĩa của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.
Dưới đây là một ví dụ kèm hướng dẫn giải cho các em dễ hiểu dạng bài tập này.
Ví dụ: Cho số 45. Số đó giảm đi bao nhiêu đơn vị nếu:
a. Xóa bỏ chữ số 5?
b. Xóa bỏ chữ số 4?
Giải:
a. Xóa bỏ chữ số 5 số đó giảm đi:
45-4= 41 (đơn vị)
(Khi xóa đi chữ số 5 thì còn lại số 4, từ 45 đơn vị -> 4 đơn vị)
b. Xóa bỏ chữ số 4 số đó giảm đi:
45-5= 40 (đơn vị)
(Khi xóa đi chữ số 4 thì còn lại số 5, từ 45 đơn vị -> 5 đơn vị)
Bài toán: 10 năm trước đây tuổi mẹ gấp 10 lần tuổi con, sau 22 năm nữa tuổi con bằng nửa tuổi mẹ . Tính tuổi mỗi người hiện nay ?
Bài giải:
Ta có sơ đồ:
Tuổi con 10 năm trước: |—|
Tuổi mẹ 10 năm trước: |—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|
Tuổi con 10 năm trước ứng với: $ \displaystyle \frac{1}{{10-1}}=\frac{1}{9}$ (hiệu số tuổi 2 người)
Tuổi con 22 năm sau: |—|
Tuổi mẹ 22 năm sau: |—|—|
Tuổi con 22 năm sau ứng với: $ \displaystyle \frac{1}{{2-1}}=1$ (hiệu số tuổi 2 người)
Hiệu số tuổi của con 22 năm sau so với tuổi của con 10 năm trước là: 22 + 10 = 32 (tuổi)
=> 32 tuổi ứng với: $ \displaystyle 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$ (hiệu số tuổi 2 người)
=> Hiệu số tuổi của mẹ và con là: $ \displaystyle 32:\frac{8}{9}=36$ (tuổi)
Tuổi con 10 năm trước là: $ \displaystyle \frac{1}{9}\times 36=4$ (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 4 + 10 = 14 (tuổi)
Tuổi mẹ 10 năm trước là: 4 x 10 = 40 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là: 40 + 10 = 50 (tuổi)
32 bài toán nâng cao lớp 6
Câu 1: Số vừa là bội của 3 vừa là ước của 54 là?
Câu 2: Cho P là tập hợp các ước không nguyên tố của số 180. Số phần tử của tập hợp P là?
Câu 3: Ba số nguyên tố có tổng là 106. Trong các số hạng đó, số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn có thể là…
Câu 4: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số
Câu 5: Cho đoạn thẳng OI = 6. Trên OI lấy điểm H sao cho HI = 2/3OI. Độ dài đoạn thẳng OH là…….cm.
Câu 6: Số tự nhiên nhỏ nhất (khác 0) chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 là ………….
Câu 7: Lúc 8 giờ, một người đi xe đạp từ A đến B cách A một khoảng 10km. Biết rằng người đó đến B lúc 10 giờ 30 phút. Vận tốc của người đi xe đạp là……….km/h.
Câu 8: Một lớp học có 40 học sinh chia thành các nhóm, mỗi nhóm nhiều nhất 6 học sinh. Hỏi số nhóm ít nhất có thể là …
Câu 9: Một người đi bộ mỗi phút được 60m, người khác đi xe đạp mỗi giờ được 24km. Tỉ số phần trăm vận tốc của người đi bộ và người đi xe đạp là ……….%.
Câu 10: Tổng số tuổi của hai anh em là 30 tuổi. Biết tuổi em bằng 2/3 tuổi anh. Tuổi anh hiện nay là ………
Câu 11: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 100 ta được số có……..chữ số.
Câu 12: Một người đi quãng đường AB vận tốc 15/km trên nửa quãng đường đầu và vận tốc 10/km trên nửa quãng đường sau. Vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AB là …..km/h.
Câu 13: Một tháng có ba ngày chủ nhật đều là ngày chẵn. Ngày 15 tháng đó là thứ………
Câu 14: Hiện nay tuổi anh gấp 2 lần tuổi em, cách đây 6 năm tuổi anh gấp 5 lần tuổi em. Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là
Câu 15: Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm2
Câu 16: Hãy cho biết có bao nhiêu số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân mà lớn hơn 24 và nhỏ hơn 25?
Câu 17: Chia 126 cho một số tự nhiên a ta được số dư là 25. Vậy số a là
Câu 18: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?
Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
Câu 19: tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số này cho 29 thì dư 5 và chia cho 31 dư 28
Câu 20: Gọi A là tập hợp ước của 154. A có số tập hợp con là?
Câu 21:
a. Có tất cả bao nhiêu cách viết số 34 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố? Trả lời:……cách.
b. Có……số vừa là bội của 3 và là ước của 54
Số các ước tự nhiên có hai chữ số của 45 là
Câu 22:
Câu A. Khi chia một số tự nhiên cho 4 được số dư là 2. Số dư trong phép chia số tự nhiên đó cho 2 là
Câu B: Một lớp học có 40 học sinh chia thành các nhóm, mỗi nhóm nhiều nhất 6 học sinh. Hỏi số nhóm ít nhất có thể là
Câu C: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài là 12cm, chiều rộng là 8cm. Diện tích hình tam giác ABC là
Câu D: Trong một phép chia, nếu ta gấp đôi số chia thì thương của phép chia cũ gấp lần so với thương của phép chia mới.
Câu E: Cho tam giác ABC.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM bằng 1/3 AB. NC bằng 2/3 AC. Diện tích hình tam giác ABC gấp diện tích hình tam giác AMNsố lần là………………..
Câu F: Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta được tổng mới là 417. Vậy số lớn là .
Câu G: Một người đi bộ mỗi phút được 60m, người khác đi xe đạp mỗi giờ được 24km. Tỉ số phần trăm vận tốc của người đi bộ và người đi xe đạp là %.
Câu H: Một người đi quãng đường AB vận tốc 15km/giờ trên nửa quãng đường đầu và vận tốc 10km/giờ trên nửa quãng đường sau. Vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AB là.
Câu I: Tỉ số của 2 số là 7/12, thêm 10 vào số thứ nhất thì tỉ số của chúng là 3/4. Tổng của 2 số là?
Câu K: Một tháng có ba ngày chủ nhật đều là ngày chẵn. Ngày 15 tháng đó là thứ
Câu 23: Viết số 43 dưới dạng tổng hai số nguyên tố a, b với a<b. Khi đó b=
Câu 24: Viết số 43 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố a, b với a<b. Khi đó a=
Câu 25: Số các ước tự nhiên có hai chữ số của 45 là
Câu 26: Có tất cả bao nhiêu cách viết số 34 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố? Trả lời: Cách…
Câu 27: Cho $ \displaystyle \alpha $ là chữ số khác 0. Khi đó $ \displaystyle \overline{\alpha \alpha \alpha \alpha \alpha \alpha :}(3.\alpha )=$
Câu 28: Có bao nhiêu hợp số có dạng $ \displaystyle \overline{23\alpha }$ ? Trả lời: Có……….số.
Câu 29: Tìm số nguyên tố P sao cho P+2 và P+4 cũng là số nguyên tố. Kết quả là P=
Câu 30: Số 162 có tất cả………ước.
Câu 31: Cho P là tập hợp các ước không nguyên tố của số 180. Số phần tử của tập hợp P là……
Hãy điền số thích hợp vào chỗ …. nhé !
Câu 32: Tổng 5 số nguyên tố đầu tiên là ………..
Giải 32 bài tập Toán nâng cao lớp 6
Câu 1: Các số là bội của 3 là: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57;….
Các số là ước của 54 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54.
Các số vừa là bội của 3 vừa là ước của 54 là: 3; 6; 9; 18; 27; 54
Vậy có 6 số vừa là bội của 3 vừa là ước của 54
Câu 2: 180 = 22 x 32 x5
Số ước 180 là: 3 x 3 x 2= 18 ước.
Các ước nguyên tố của 180 là: {2;3;5} có 3 ước.
Số ước không nguyên tố của 180 là: 18 – 3 = 15 ước.
Câu 3: Ba số nguyên tố có tổng là 106 nên trong ba số này phải có 1 số chẵn => Trong ba số nguyên tố cần tìm có 1 số hạng là số 2.
Tổng hai số còn lại là 106 – 2 = 104.
Gọi 2 số nguyên tố còn lại là a và b (a > b).
Ta có a + b = 104 => Để số a là số nguyên tố lớn nhất nhỏ nhất thì b phải là số nguyên tố nhỏ nhất.
Số nguyên tố b nhỏ nhất là 3 => a = 104 – 3 = 101 cũng là 1 số nguyên tố (thỏa mãn yêu cầu đề bài).
Vậy số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 101.
Câu 4: Số lớn nhất 9998
Số bé nhất 1000
Có: (9998 – 1000) : 2 + 1 = 4500 (số)
| Câu 5 | Câu 6 | Câu 7 | Câu 8 | Câu 9 | Câu 10 | Câu 11 | Câu 12 | Câu 13 |
| 2 | 90 | 4 | 7 | 15% | 18 | 192 | 12 | 7 |
Câu 14: Anh 20, em 10
Câu 15: giảm đường kính đi 20% thì bán kính cũng giảm đi 20%
bán kính của hình tròn mới là 100% – 20%= 80%
diện tích hình tròn có bán kính 80% là 80% * 80% = 64%
diên tích hình tròn cũ hơn hình tròn mới là 100% * 100% – 64%= 36%
36%=113,04cm2 => diện tích hình tròn ban đầu là 113,04: 36 * 100 = 314cm2
Câu 16: Số nhỏ nhất thoả mãn đề bài là: 24,01
Số lớn nhất thoả mãn đề bài là: 24,99
Từ 1 đến 99 có:
(99 – 1) : 1 + 1 = 99 (số)
Vậy có 99 số thoả mãn đầu bài.
Câu 17:
126: a dư 25=>a khác 0 ; 1;126
=>126-25=101 chia hết cho a
Mà 101=1.101
=>a=1(L) hoặc a=101(TM)
Vậy a=101
Câu 18:
Có số các số tự nhiên có 4 chữ số là:
(9999-1000): 1+1=9000 (số)
Đáp số: 9000 số
Có số các số chẵn có 3 chữ số là:
(998-100):2+1=450 (số)
Đáp số: 450 số
Câu 19: Gọi số tự nhiên cần tìm là A
Chia cho 29 dư 5 nghĩa là: A = 29p + 5 ( p ∈ N )
Tương tự: A = 31q + 28 ( q ∈ N )
Nên: 29p + 5 = 31q + 28 => 29(p – q) = 2q + 23
Ta thấy: 2q + 23 là số lẻ => 29(p – q) cũng là số lẻ =>p – q >=1
Theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (A = 31q + 28)
=>2q = 29(p – q) – 23 nhỏ nhất
=> p – q nhỏ nhất
Do đó p – q = 1 => 2q = 29 – 23 = 6
=> q = 3
Vậy số cần tìm là: A = 31q + 28 = 31. 3 + 28 = 121
Câu 20: Để tìm tập hợp con của A ta chỉ cần tìm số ước của 154
Ta có:154 = 2 x 7 x 11
Số ước của 154 là : ( 1 + 1 ) x ( 1 + 1 ) x ( 1 + 1 ) = 8 ( ước )
Số tập hợp con của tập hợp A là:
2n trong đó n là số phần tử của tập hợp A
=> 2n = 28 = 256 ( tập hợp con )
Trả lời: A có 256 tập hợp con
Câu 21:
| a | b | c |
| 4 | 6 | 15 & 45 |
Câu 22:
A. Chia 4 dư 2m
Lấy 2:2 = 1 dư 0
B. 40 : 6 = 6 dư 4
Vậy ít nhất có 6 nhóm
C. Diện tích tam giác ABC bằng nửa diện tích hình chữ nhật ABCD
1/2 x 12 x 8 = 48 cm vuông.
Đường chéo AC chia hình chữ nhật ra làm hai.
Hoặc tính diện tích tam giác ABC là tam giác vuông nên diện tích của nó = 1/2 tích của hai cạnh góc vuông.
D. 2 lần
E. Nối BN.
Xét tam giác AMN và tam giác ABN có chung đường cao hạ từ đỉnh N xuống cạnh AB và có AM = 1/3AB
=>S AMN = 1/3 S ABN (1)
Xét tam giác ABN và tam giác ABC có chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC và có AN = 1/3 AC
=>S ABN = 1/3 S ABC (2)
Từ (1) và (2) ta có : S AMN = 1/3.1/3 S ABC = 1/9 S ABC
=> S ABC = 9 S AMN
Đáp số: 9 lần
F. 67
H. Vì nửa đoạn đường đầu bằng nửa đoạn đường sau => thời gian đi tỉ lệ nghịch với vận tốc.
=> Tỉ lệ vận tốc nửa đoạn đường đầu và nửa đoạn đường sau là 10 : 15 = 2/3
=> Gọi thời gian đi nửa đoạn đường đầu là 2t thì thời gian đi nửa đoạn đường sau là 3t
=> Tổng thời gian là: 2t + 3t = 5t
Tổng quãng đường là: 15 x 2t + 10 x 3t = 60t
=> Vận tốc trung bình = tổng quãng đường / tổng thời gian = 60t/5t = 12 km/h
Đ/S: 12 km/h
I. Gọi x và y là 2 số cần tìm:
Ta có x/y=7/12 (1) và x+10/y=3/4=9/12 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x+10/y – x/y=9/12-7/12
10/y = 2/12 = 1/6
Suy ra: y=(12*10)/2=60
x=(60/12)*7=35
Tổng 2 số là:60+35=95
Thử lại: 35/60=7/12
x+10=35+10=45 45/60=3/4
K. Thứ 7
Bài toán quy luật của dãy số nâng cao được cho như sau:
Cho một dãy số gồm các số 5; 12; 26; 47; 75;…
a) Tìm số thứ 79 của dãy
b) số 11982 có phải là 1 số của dãy không ? vì sao ?
c) số 12017 có phải là 1 số của dãy không ? vì sao ?
Lời giải:
Nhận xét:
7 × 0 + 5 = 5
7 × (0 + 1) + 5 = 12
7 × (0 + 1 + 2) + 5 = 26
7 × (0 + 1 + 2 + 3) + 5 = 47
….
a) số thứ 79 = 7 × (0 + 1 + 2 + 3 + … + 78) + 5 = 21572.
b) giả sử số 11982 thuộc dãy, khi đó:
11982 = 7 × (0 + 1 + 2 + 3 + … + X) + 5
=> 0 + 1 + 2 + 3 + … + X = (11982- 5) ÷ 7
0 + 1 + 2 + 3 + … + X = 1711
X × (X + 1) = 3422
=> X = 58.
Do vậy số 11982 thuộc dãy số.
c) Lập luận tương tự câu b.