Luật số lớn mô tả sự ổn định của trung bình hoặc tần suất khi số phép thử độc lập tăng lên dưới các điều kiện thích hợp. Đây là kết quả nền tảng của xác suất và thống kê, nhưng không có nghĩa một kết quả riêng lẻ trở nên “dễ đoán” hơn.
Hiểu đúng ý nghĩa của luật số lớn
Trong nhiều phép thử cùng điều kiện, tần suất quan sát của một biến cố thường tiến gần xác suất lý thuyết khi số lần thử đủ lớn. Tuy nhiên từng phép thử riêng vẫn ngẫu nhiên và luật số lớn không tạo ra lợi thế để dự đoán kết quả tiếp theo.
Ví dụ, nếu một biến cố có xác suất $p$ và lặp lại $n$ lần độc lập, số lần xuất hiện có kỳ vọng khoảng $np$, nhưng số lần thực tế có thể cao hoặc thấp hơn giá trị này.
Nội dung bài toán và lời giải
Luật số lớn là một phần của Lý thuyết xác suất và thống kê. Trong thực tế, những hiện tượng ngẫu nhiên do rất nhiều nguyên nhân ngẫu nhiên gây ra. Việc tìm điều kiện để những hiện tượng như vậy xảy ra theo một quy luật nào đó là ý nghĩa của định lý luật số lớn.
Từ khi được chứng minh thành công thức, luật số lớn được áp dụng rất nhiều trong thực tế với các bài toán xác suất. Với các ví dụ ngẫu nhiên như xổ số, luật số lớn giúp giải thích sự ổn định của tần suất khi số phép thử rất lớn; định lý này không làm thay đổi xác suất của một lần thử riêng lẻ.
1/ Luật số lớn
Khái niệm tổng quát
Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2, …, Xn, … (2.1) Xét biến ngẫu nhiên Yn là một hàm đối xứng nào đó của n biến ngẫu nhiên đầu tiên của dãy (2.1):
Nếu tồn tại một dãy các hằng số a1, a2, …, an, … sao cho với mọi ε dương:
thì dãy (2.1) được gọi là tuân theo luật số lớn với hàm đã cho.
Dạng Chebyshev của luật số lớn.
- Định nghĩa
Ta nói họ biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} tuân theo luật số lớn (dạng Chebyshev) nếu ∀ε > 0:
- Bất đẳng thức Chebyshev
Nếu biến ngẫu nhiên X có phương sai hữu hạn, thì bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn với mọi ε > 0:
- Định lý Chebyshev
Nếu X1, X2, …, Xn,… là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập từng đôi một có phương sai hữu hạn và bị chặn bởi cùng một hằng số DXk ≤ C, ∀k thì với mọi hằng số ε > 0, ta luôn có:
Điều kiện cần và đủ cho luật số lớn.
Định lý 2.3.1. Cho dãy biến ngẫu nhiên tùy ý X1, X2, …, Xn, … Điều kiện cần và đủ để dãy biến ngẫu nhiên này thỏa mãn hệ thức:
2/ Một số ứng dụng của luật số lớn
Luật số lớn được áp dụng nhiều nhất trong thống kê xác suất.
Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. Nếu ký hiệu số phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là n(A), tần suất xuất hiện biến cố A là:
Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố tiến dần đến một số xác định, số đó được gọi là xác suất của biến cố đó. Hay nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn:
Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất:
Nói một cách khác dễ hiểu. Khi ta thực hiện một thí nghiệm thành công với xác suất là P(A) và lặp lại thí nghiệm này n lần, thì số lần thành công sẽ xấp xỉ n(A).
Ví dụ, nếu có 10 triệu phép thử độc lập và mỗi phép thử có xác suất thành công là 1 phần 1 triệu, số lần thành công kỳ vọng là 10. Con số thực tế vẫn có thể khác 10; đây là giá trị kỳ vọng chứ không phải kết quả chắc chắn.
Lưu ý khi làm bài
Luật số lớn mô tả xu hướng ổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên; nó không cho phép dự đoán chính xác kết quả của một lần xổ số cụ thể.
