Từ khóa: toán nâng cao 5

Bài toán: Người thứ 1 đi từ A đến B hết 2 giờ, người thứ 2 đi từ B đến A hết 1 giờ 30 phút. Nếu hai người xuất phát cùng một thời điểm hỏi sau bao lâu họ gặp nhau trên đường.

Giải:

Bài toán: Viết các tổng sau thành tích của 2 thừa số:

a, 132 + 77 + 198

b, 5555 + 6767 + 7878

c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999

Giải

a, 132 + 77 + 198
= 11 x 12 + 11 x 7 + 11 x 18
= 11 x (12 + 7 + 18) ( nhân 1 số với 1 tổng)
= 11 x 37

b, 5555 + 6767 + 7878
= 55 x 101 + 67 x 101 + 78 x 101
= 55 + 67 + 78) x 101
= 200 x 101

c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999
= 1997 x 1,0001 + 1998 x 1,0001 + 1999 x 1,0001
= (1997 + 1998 + 1999) x 1,0001
= 5994 x 1,0001 ( nhân 1 tổng với 1 số)

Bài toán:

Tìm giá trị số tự nhiên của a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?

B = 1990 + 720 : (a – 6)

                                                          Giải
Xét B = 1990 + 720 : (a – 6)

B lớn nhất khi thương của 720 : (a – 6) lớn nhất.

Khi đó số chia phải nhỏ nhất, vì số chia khác 0 nên a – 6 = 1 (là nhỏ nhất)

Suy ra : a = 7

Với a = 7 thì giá trị lớn nhất của B là:

1990 + 720 : 1 = 2710.

Bài tập:

Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách thích hợp

a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58

b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2)

e, 9,8 + 8,7 + 7,6 +. . .+2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 -. . . – 8,9

                                                          Giải
a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58
= 17,58 x 43 + 17,58 x 57 (tính giao hoán)
= 17,58 x (43 + 57) = 17,58 x 100 = 1758 (nhân 1 số với 1 tổng)
b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2)
= 43,57 x 2,6 x (630 – 630)
= 43,57 x 2,6 x 0 = 0

Ở số chia, từ 1 tới 55 là các số mà 2 số liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị nên từ 1 đến 55 có (55 – 1) :3 + 1 = 19 số).
e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + . . . + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 – . . . – 8,9
= (9,8 – 8,9) + (8,7 – 7,8) + . . . +(2,1 – 1,2)
= 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9
= 0,9 x 5 = 4,5.

Bài toán: Cho hai biểu thức:

A = (700 x 4 + 800) : 1,6

B = (350 x 8 + 800) : 3,2

Không tính toán cụ thể, hãy giải thích xem giá trị biểu thức nào lớn hơn và lớn hơn mấy lần?
Giải
Xét ở A có 700 x 4 = 700: 2 x 2 x 4 = 350 x 8 nến số bị chia của cả hai biểu thức A và B giống nhau nhưng số chia gấp đôi nhau (3,2: 1,6 = 2) nên A có giá trị gấp đôi B.

Bài toán: Cho phân số 1200/2100. Hãy cùng bớt ở tử số và mẫu số của phân số này 2 số khác nhau sao cho số bớt đi ở tử số gấp 2 lần số bớt đi ở mẫu số để được phân số mới bằng 1/3.

Giải:

Phân số ban đầu 1200/2100 = 4/7

Xem tử số 4 phần thì mẫu số 7 phần

Nếu tử số bớt 2 phần thì mẫu số bớt 1 phần và phân số còn 2/6 = 1/3

Mẫu số bớt 2100 : 7 x 1 = 300

Tử số bớt 1200 : 4 x 2 = 600

Bài toán: Một xe máy 1 đi từ A đến B với vận tốc 40km/giờ. Cùng lúc đó một xe máy 2 và một ô tô đi từ B về A,vận tốc xe máy là 30km/giờ và vận tốc ô tô là 50km/giờ. Hãy cho biết khi khoảng cách từ ô tô đến hai xe máy bằng nhau thì ô tô đã đi được bao nhiêu ki–lô–mét, biết quãng đường AB dài 198km?

Giải:

3 xe đi cùng thời gian nên quãng đường đi được tỷ lệ thuận với vận tốc. Khi ô tô cách đều 2 xe máy thì các xe đi được lần lượt là 4, 5 và 3 phần. Quãng đường AB sẽ có số phần là:

3 + 2 + 2 + 4 = 11 (phần)

Ô tô đi được số km là:

198 : 11 x 5 = 90 (km)

Bài 1: Viết liên tiếp các chữ cái A, N, L, Ư, U thành dãy AN LƯU, AN LƯU, … Chữ cái thứ 1998 là chữ cái gì?

Giải:

Để viết 1 nhóm AN LƯU người ta phải viết 5 chữ cái A, N, L, Ư, U. Nếu xếp 5 chữ cái ấy vào 1 nhóm ta có :

Chia cho 5 không dư là chữ cái U Chia cho 5 dư 1 là chữ cái A Chia cho 5 dư 2 là chữ cái N Chia cho 5 dư 3 là chữ cái L Chia cho 5 dư 4 là chữ cái Ư

Mà: 1998 : 5 = 339 (nhóm) dư 3

Vậy chữ cái thứ 1998 là chữ cái L của nhóm thứ 400.

Bài 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ Tổ quốc việt nam thành dãy Tổ quốc việt nam Tổ quốc Việt Nam …

a, Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì?

b, Người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ Ô? bao nhiêu chữ I?

c, Bạn An đếm được trong dãy có 1995 chữ Ô. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?

d, Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự : Xanh, đỏ, tím, vàng. xanh, đỏ, … Hỏi chữ cái thứ 1995 trong dãy tô màu gì?

Giải:

a, Nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM có 13 chữ cái. Mà 1996 : 13 = 153 (nhóm) dư 7.

Như vậy kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 1996 trong dãy người ta đã viết 153 lần nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM và 7 chữ cái tiếp theo là : TỔ QUỐC V. Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ V.

b, Mỗi nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ Ô và 1 chữ I. vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó cũng phải có 50 chữ Ô và có 25 chữ I.

c, Bạn đó đã đếm sai, vì số chữ Ô trong dãy phải là số chẵn d, Ta nhận xét : các màu Xanh, đỏ, tím, vàng gồm có 4 màu.

Mà 1995 : 4 = 498 (nhóm) dư 3.

Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là số chia cho 4 dư 3 thì được tô màu tím Vậy chữ cái thứ 1995 trong dãy được tô màu tím

Bài 1: Một quyển sách có 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Giải:

Để đánh số trang sách người ta bắt đầu đánh từ trang số 1. Ta thấy để đánh số trang có 1 chữ số người ta đánh mất 9 số và mất :

1 x 9 = 9 (chữ số)

Số trang sách có 2 chữ số là 90 nên để đánh 90 trang này mất : 2 x 90 = 180 (chữ số)

Đánh quyển sách có 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số trang sách có 3 chữ số là:

435 – 9 – 180 = 246 (chữ số)

246 chữ số thì đánh được số trang có 3 chữ số là : 246 : 3 = 82 (trang)

Quyển sách đó có số trang là :

9 + 90 + 82 = 181 (trang)

đáp số 181 trang.

Bài 2: Viết các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào?

Giải:

Từ 87 đến 99 có các số lẻ là : (99 – 87) : 2 + 1 = 7 (số)

Để viết 7 số lẻ cần :

2 x 7 = 14 (chữ số)

Có 450 số lẻ có 3 chữ số nên cần : 3 x 450 = 1350 (chữ số)

Số chữ số dùng để viết các số lẻ có 4 chữ số là : 3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số)

Viết được các số có 4 chữ số là : 1792 : 4 = 448 (số)

Viết đến số :

999 + (448 – 1) x 2 = 1893

Để tìm số chữ số biết số số hạng ta cần phải tìm xem trong dãy số có bao nhiêu số số hạng. Rồi xem trong số các số đó có bao nhiêu số có 1, 2, 3, 4, … chữ số.

Xem ví dụ dưới đây để nắm cách giải dạng toán này.

Bài 1: Cho dãy số 1, 2, 3, 4, …, 150. Dãy này có bao nhiêu chữ số?

Giải:

Dãy số 1, 2, 3, …, 150 có 150 số.

Trong 150 số có

+ 9 số có 1 chữ số

+ 90 số có 2 chữ số

+ Các số có 3 chữ số là : 150 – 9 – 90 = 51 (chữ số) Dãy này có số chữ số là :

1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số)

Đáp số: 342 chữ số

Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp tữ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số?

Giải:

Dãy số : 2, 4, …, 1998 có số số hạng là : (1998 – 2) : 2 + 1 = 999 (số)

Trong 999 số có :

4 số chẵn có 1 chữ số 45 số chẵn có 2 chữ số 450 số chẵn có 3 chữ số

Các số chẵn có 4 chữ số là :

999 – 4 – 45 – 450 = 500 (số)

Số lượng chữ số phải viết là :

1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số)

Đáp số : 3444 chữ số

Để tìm được số hạng thứ n của dãy số theo quy luật ta sử dụng công thức tính mà dưới đây.

Công thức tìm số hạng thứ n:

a, Cuối dãy: n = Số đầu + khoảng cách x (n – 1)

b, Đầu dãy: n = Số cuối – khoảng cách x (n – 1)

Bài 1 : Cho dãy số : 1, 3, 5, 7, …

Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào?
Giải :

Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.

20 số hạng thì có số khoảng cách là : 20 – 1 = 19 (khoảng cách)

19 số có số đơn vị là :

19 x 2 = 38 (đơn vị) Số cuối cùng là :

1 + 38 = 39

Đáp số : Số hạng thứ 20 của dãy là 39

Bài 2 : Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?
Giải :

2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị 20 số lẻ có số khoảng cách là :

20 – 1 = 19 (khoảng cách) 19 khoảng cách có số đơn vị là :

19 x 2 = 38 (đơn vị) Số đầu tiên là :

2001 – 38 = 1963

Đáp số : số đầu tiên là 1963.

Bài toán: Viết các số chẵn liên tiếp : 2, 4, 6, 8, . . . , 2000. Tính tổng của dãy số trên.

Giải:

Dãy số trên 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Dãy số trên có số số hạng là :

(2000 – 2) : 2 + 1 = 1000 (số)

1000 số có số cặp số là : 1000 : 2 = 500 (cặp)

Tổng 1 cặp là :

2 + 2000 = 2002

Tổng của dãy số là :

2002 x 500 = 100100.

Bài toán: 5 quả trứng gà và 3 quả trứng vịt giá 9000 đồng.Biết giá tiền 5 quả trứng gà đắt hơn 2 quả trứng vịt 4000 đồng.Tính giá tiền mỗi quả trứng mỗi loại? Giải toán theo phương pháp khử ở tiểu học.

Giải:

5 gà + 3 vịt = 9000 đồng
5 ga – 2 vịt = 4000 đồng
5 gà + 3 vịt = 2 vịt + 4000+ 3 vịt = 9000 đồng
=> 5 vịt = 9000 đồng – 4000 đồng
5 vịt = 5000 đồng
1 vịt = 5000 đồng : 5
1 vịt = 1000 đồng
1 gà = (9000- 1000 x 3): 5= 1200 đồng

Bài toán: Đội 1 có thể xây xong bức tường trong 18 giờ.Đội hai có thể xây xong bức tường đó trong 16 giờ.Hỏi 3/5 đội 1 và 2/3 đội 2 có thể xây xong bức tường đó trong bao lâu ?

Giải:

1 giờ đội 1 xây được là:
1:18=1/18 bức tường
1 giờ đội 2 xây được là:
1:16=1/16 bức tường
3/5 đội 1 trong 1 giờ xây được là:
1/18 x 3/5 = 1/30 bức
2/3 đội 2 trong 1 giờ xây được là:
1/16 x 2/3 = 1/24 bức tường
1 giờ 3/5 đội 1 và 2/3 đội 2 xây được là:
1/30 + 1/24 = 3/40 bức
3/5 đội 1 và 2/3 đội 2 xây xong trong thời gian là:
1 : 3/40 = 40/3 giờ = 13 giờ 20 phút

Bài toán: Trong một tích hai thừa số, nếu thừa số thứ nhất tăng gấp đôi và thừa số thứ 2 tăng gấp rưỡi thì tích sẽ tăng gấp mấy lần tích cũ.

Giải:

Gấp đôi: gấp 2

Gấp rưỡi: gấp 1,5

Vậy tích mới tăng 2×1,5= 3 lần tích cũ